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hey, kann mir jemand bei dieser Übung helfen? wäre sehr dankbar :)


Aufgabe:

Eine natürliche Zahl n ∈ ℕ≥2 heißt Primzahl, falls die folgende Aussage gilt: Für alle a,b∈ℕ≥1 mit n | ab gilt n | a oder n | b.
Hierbei bedeutet x | y (x teilt y), dass y = kx für ein k ∈ ℕ gilt.


(i) Sei n ≥ 2 eine natürliche Zahl. Zeigen Sie, dass der Ring ℤ/nℤ genau dann nullteilerfrei ist, wenn n eine Primzahl ist.


(ii) Zeigen Sie, dass ein Element r in einem kommutativen Ring R genau dann kein Nullteiler ist, wenn die Abbildung lr : R → R, x→ rx, die durch Multiplikation mit r gegeben ist, injektiv ist.


(iii) Zeigen Sie, dass ein endlicher kommutativer Ring mit Eins genau dann ein Körper ist, wenn er nullteilerfrei ist. Insbesondere ist also ℤ/nℤ für eine Primzahl n ein Körper.


(iv) Zeigen Sie, dass der Ring ℤ/nℤ genau dann ein Körper ist, wenn n eine Primzahl ist.


Hinweis zu (iii): Sie dürfen verwenden, dass eine injektive Abbildung einer endlichem Menge auf sich selbst automatisch surjektiv ist.

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(i) Sei n ≥ 2 eine natürliche Zahl. Zeigen Sie, dass der Ring ℤ/nℤ genau dann nullteilerfrei ist, wenn n eine Primzahl ist.

Bew.:   ℤ/nℤ nicht nullteilerfrei

<=>  Es gibt a,b ∈  ℤ/nℤ    a*b=0    a≠0  und b≠0

<=> Es gibt a,b ∈  ℤ       a*b Vielfaches von n und  a kein Vielfaches von n  
                                                                   und b kein Vielfaches von n

<=>  Es gibt a,b ∈  ℤ      n| ab   und  ¬(n|a) und   ¬(n|a)

==>  Die Aussage
        Für alle a,b∈ℕ≥1 mit n | ab gilt n | a oder n | b.

Damit ist gezeigt :

ℤ/nℤ genau dann nicht nullteilerfrei ist, wenn n keine Primzahl ist.

also auch

ℤ/nℤ genau dann nullteilerfrei ist, wenn n eine Primzahl ist.




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(ii):

Ist lrl_r injektiv, dann gilt für aRa\in R:

lr(a)=ra=0=lr(0)a=0l_r(a)=ra=0=l_r(0)\Rightarrow a=0, d.h.

rr ist kein Nullteiler.

Ist andererseits rr kein Nullteiler

und lr(a)=lr(b)l_r(a)=l_r(b), dann ist

ra=rbr(ab)=0ra=rb\Rightarrow r(a-b)=0 und da rr

kein Nullteiler ist, folgt ab=0a-b=0, d.h. a=ba=b,

lrl_r ist also injektiv.

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