Aloha :)
In der Halbgruppe \((G,\cdot)\) gilt das Assoziativgesetz. Für alle \(a,b,c\in G\) gilt daher:$$a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$$Wir haben ein links-neutrales Element \(e\in G\) und zu jedem Element \(a\in G\) existiert ein links-inverses Element \(a'\in G\), sodass gilt:$$e\cdot a=a\;\;\text{und}\;\;a'\cdot a=e$$
Dann können wir damit wie folgt argumentieren:
Zu \(a'\) gibt es ein \(a''\), sodass \(a''\cdot a'=e\) ist. Dann gilt (ich lasse die Malpunkte weg):$$aa'=e(aa')=(a''a')(aa')=a''(a'(aa'))=a''((a'a)a')=a''(ea')=a''a'=e$$$$ae=a(a'a)=(aa')a=ea=a$$
Das heißt, die Existenz eines links-neutralen und eines links-inversen Elements impliziert die Existenz eines rechts-neutralen und rechts-inversen Elmentes und es sind jeweils dieselben ;)
