Induktionsschritt Beweise in der Mathematik

Question

Hey,

ich habe die Induktionsbehauptung:

\( F_{n}=\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}}{\sqrt{5}} \)

und bin nun beim Induktionsschritt und habe:

Aussage gilt auch für \( n^{\prime}+1 \)
\( F_{n^{\prime}+1}=(n+1)+F_{n \prime} \)
\( F_{n^{\prime}+1}=\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n \prime}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n \prime}}{\sqrt{5}}+(n+1) \)
\( =\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n^{\prime}}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n^{\prime}}}{\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{5}(n+1)}{\sqrt{5}} \)
\( =\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n^{\prime}}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n^{\prime}}+\sqrt{5}(n+1)}{\sqrt{5}} \)

ich komme nun nicht weiter, denn ich weiß nicht wie ich weiter Umformen soll, um zum Ende zu kommen.

Lg Daniel

Answer 1

Hallo,

\(F_{n^{\prime}+1}=(n+1)+F_{n \prime} \)

das ist wohl nicht die rekursive Regel für die Fibonacci-Folge!

Richtig ist \(F_{n+1}=F_n+F_{n+1}\) und dann geht das ganze zum Beispiel so:$$\begin{aligned} F_{n+1} &= F_n + F_{n-1} \\ &= \frac 1{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n} + \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}\right) \\ &= \frac1{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} + 1\right)- \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}+1\right)\right)\\ &= \frac1{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)- \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\right)\\ &= \frac1{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}\left(\frac{6+2\sqrt{5}}{4}\right)- \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}\left(\frac{6-2\sqrt{5}}{4}\right)\right)\\ &= \frac1{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2- \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^2\right)\\ &= \frac1{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}- \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right)\space \checkmark\\ \end{aligned}$$Im Induktionsanfang muss man dazu die Richtigkeit der Formel für zwei auf einander folgende \(n\) zeigen.

Gruß Werner

Comments

Danke, könntest du die Zwischenschritte rechts anschreiben, damit ich besser verstehen kann, wie du jeweils auf den nächsten Term gekommen bist?

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Ok ... es ist schon ziemlich detailliert. In welcher Zeile verstehst Du was nicht?

Ich habe :

- abgeschreiben, für \(F_n=f(n)\) und \(F_{n-1}= f(n+1)\) was oben steht

- \(\left(\frac{1 \pm \sqrt 5}{2}\right)^{n-1}\)ausgeklammert

- Bruch mit ganzer Zahl addiert zu Bruch

- Bruch mit 2 erweitert

- Wurzel aus \(6 + 2\sqrt 5\) gezogen \((1\pm\sqrt 5)^2=6 \pm 2\sqrt 5\)

- Potenzen gleicher Basis multipliziert, indem ich die Exponenten addiert habe