Zeige, dass die Menge beschränkt ist

Question

Hey Zusammen, kann mir jemand eventuell die folgende Aufgabe vorrechnen?

Zeigen Sie, dass die Menge \( M=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x=4+\frac{(-1)^{n}}{n}, n \in \mathbb{N}\right\} \) beschränkt ist. Hat \( M \) ein kleinstes Element oder ein größtes Element? Begründen Sie Ihre Entscheidung.

LG Felix

Answer 1

Aloha :)

$$\red{-1}=\frac{(-1)^1}{1}\le\pink{\frac{(-1)^n}{n}}\le\frac{(-1)^2}{2}=\green{\frac12}\quad\stackrel{(+4)}{\implies}\quad\red3\le\pink{4+\frac{(-1)^n}{n}}\le\green{\frac92}$$

Die Folge ist beschränkt. Für \(n=1\) wird das kleinste Element \(3\) angenommen und für \(n=2\) wird das größte Element \(\frac92\) angenommen.

Comments

Und was hindert mich dran ein beliebiges n einzusetzen oder muss ich das immer mit 1 prüfen ? Danke aber schonmal :)

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Die Folge \(\frac{(-1)^n}{n}\) wird vom Betrag her immer kleiner, tendiert also zur Null.

Für ungerade \(n\) nähert sich die Folge von links der Null:$$\frac{(-1)^1}{1}=-1<\frac{(-1)^3}{3}=-\frac13<\frac{(-1)^5}{5}=-\frac15<\cdots$$

Für gerade \(n\) nähert sich die Folge von rechts der Null:$$\frac{(-1)^2}{2}=\frac12>\frac{(-1)^4}{4}=\frac14>\frac{(-1)^6}{6}=\frac16>\cdots$$

Der kleinste Wert ist offensichtlich \((-1)\) und der größte Wert ist \(\frac12\).

Egal welchen Wert du für \(n\) wählst, es gilt immer:$$-1\le\frac{(-1)^n}{n}\le\frac12$$

Answer 2

Hast du die ersten - sagen wir mal - 6 Folgenglieder berechnet??

Comments

Ich weiß leider grade nicht mal was du damit meinst :^)

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Aber ich weiß jetzt, was du meinst: "Ich investiere KEINERLEI Eigenleistung in diese Aufgabe. Mal die ersten paar Folgenglieder berechnen um selbst zu sehen, wo das lang geht - ich doch nicht. Man stellt die Frage ein und wartet ob sich ein Depp findet, der sie einem komplett beantwortet."

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Alter ich weiß halt echt nicht was du mit Folgeglieder meinst.