Kann mir jemand anhand von einfachen Beispielen eine Partielle Integration zeigen?

Question

Hallo.

Ich habe mal auf Youtube paar Videos zur Partielle Integration angeschaut. Bei einfachen Funktionen ist das doch eigentlich gar nicht so schwer? Also ich meine jetzt ohne e-Funktionen und ohne Sinus/Cos-Funktionen.


Kann mir das mal jemand anhand eines Beispiels zeigen?

Es würde mich seeeeeeeeeehhhhrrrr freuen!!

Comments

Hallo emre,

(* Scherzmodus an*)
Das ist noch zu schwer für dich .
(* Scherzmodus aus*)

  Ich bin einmal gespannt ob es hier jemand versucht dir das zu
erklären.

  mfg Georg

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Hallo Georg:)

Ja, das ist auch noch sehr schwer für mich :)

Ich wollte ja mal nur gucken, ob es mir mal jemand so ganz grob erklärt wie es aussieht und alles.

Also das was Unknown gemacht hat :)

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Hallo emre123,

  die partielle Integration wird verwendet um Produkte oder schwierigere
Terme zu integrieren.

  Es wird folgender Trick 17 angewendet. Dies sollte für deinen
Wissensstand nachvollziehbar sein.  Alles in Formeln.

  ∫ ( u * v ) ´ * dx = u * v
  l zuerst wird differenziert, dann integriert. Beides hebt sich wieder auf.

  ( u * v ) ´ = u ´ * v + u * v ´  l Produktregel
  l jetzt integriere ich beide Seiten
  ∫ ( u * v ) ´ = ∫ ( u ´ * v + u * v ´ )  l rechte Seite auseinanderziehen
  ∫ ( u * v ) ´ = ∫ u ´ * v  +  ∫ u * v ´  l linke Seite heben sich Diff und Integral auf
  u * v  = ∫ u ´ * v  +  ∫ u * v ´  l umstellen
  ∫ u * v ´ = u * v  -  ∫ u ´ * v
Dies ist dieselbe Formel wie bei unknown. Nur u und v anstelle f und g.

  Nun die Frage was soll´s ?  Mit Hilfe dieses Zusammenhanges
können " siehe oben , meinen Eingangssatz "
Ist aber alles ein bißchen schwer.

  mfg Georg

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Hallo Georgborn :)

Vielen lieben dank, dass du mir das auch versuchst zu erklären! Sehr nett von dir!! :)

Ich versuche das mal nachzuvollziehen :)

Nochmal vielen lieben dank!! :)

Answer 1

Hi Emre,

sicher, dass Du Dir das antun willst? Ist das Schulwissen? ;)

 

Ein sehr bekanntes Beispiel wäre

$$\int x\cdot\ln(x) \; dx$$

Die Formel der partiellen Integration ist ja

$$\int f'\cdot g = [f\cdot g] - \int f\cdot g' \; dx$$

Nun wähle f' = x und g = ln(x). Es folgt f = 1/2*x² und g' = 1/x

In die Formel eingesetzt:

$$\int x\cdot\ln(x) \; dx = \left[\frac12\cdot x^2\cdot\ln(x)\right] - \int \frac12x^2\cdot\frac1x \; dx $$

$$= \left[\frac12\cdot x^2\cdot\ln(x)\right] - \left[\frac14x^2\right]$$

 

Grüße

Comments

Ohaaaaaaaa :O

wie wäre das dann zb hier?:

∫e^x*(2-x²) dx

Wie wäre das dann hie? :O

aber ist echt krass :O :)

 

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Du wolltest doch ohne e-Funktion?^^

Hier wäre es aber komplizierter, da eine doppelte partielle Integration gebraucht wird. Als Anfänger würde ich da vorerst die Finger lassen. Sonst aber ist das nicht schwierig. Nur obige Formel anwenden und das wars ;).

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Ah stimmt ja:)

Ja, das ist mir klar, dass es für dich nicht schwer ist :) (Nicht böse gement) ich will auch so sein:D und so denken, dass es nicht schwer ist:D

dankee für deine beispielaufgabe:D

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Kommt alles noch :).

Kein Ding. Wie gesagt der Kernpunkt bei  partieller Integration ist das Kennen der Formel und die richtige Zuordnung von f' und g. Der Rest ist en Klacks ;).

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Ja :)

Hab ja noch naja 2 Jahre :D:D bis ich das eigentlich können muss :)

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Unknown ich habe noch einige Fragen :)

Ich versuche das gerade nachzuvollziehen, aber an manchen Stellen hängts noch:

1) Hast du  f' = x aufgleitet zu f= 1/2x² oder das heißt ja auch Stammfunktion oder?

2) g = ln(x). und wie kommst du dann auf g' = 1/x?

3) wie kommst du in der letzten Zeile auf - [1/4x²]

 

PS: Ich weiß ja, dass wenn man 1/2x² ableitet, dass dann x rauskommt, denn 2*1/2= x  oder?

Liegt ich da falsch oder ist das wirklich so? :)

Tut mir leid, wenn ich viel frage :)

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1) Ja, das wurde integriert. Ist aber nur ein Faktor. Es handelt sich also nicht um die Stammfunktion unseres Produkts.

2) Diese Ableitung muss man kennen. Es ist allgemein bekannt (wenn man dann so weit ist), dass g' = 1/x ist ;).

 

3) Du hast doch bei Anwendung der partiellen Integration ein Integral das übrig bleibt. Da steht:

$$\int \frac12x^2\frac1x \; dx = \int \frac12x \; dx = \left[\frac14x^2\right]$$

 

Da habe ich vielleicht einen Schritt zu schnell gemacht gehabt :).

 

PS: Ich weiß ja, dass wenn man 1/2x² ableitet, dass dann x rauskommt, denn 2*1/2= x  oder?

2*1/2 = 1 ;). Aber ja, der Exponent kommt ja runter und es verbleibt letztlich x. Weswegen dann andersrum auch gelten muss, dass das eine Stammfunktion ist ;).

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ah ok 1) und 2) weiß ich jetzt :)

bei der 3) hab ich vieellleicht eine Idee....

ich glaube du hast doch  ∫1/2xdx einfach Integriert oder? Also 1/2 geteilt durch 2= 1/4x²

denn bei einer Integration geht man ja so vor, dass man den Exponenten um eins erhöht und dann den Koeffizienten durch diesen neuen Exponenten teilt, oder? 

Tut mir leid, wenn das was ich gedacht hab falsch war :)

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Du hast es zwar falsch aufgeschrieben, aber richtig erklärt :).

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jaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa :)