Bestimmt näherungsweise die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0=2 mithilfe des Differenzenquotienten für h->0

Question

Hallo erstmal

Bestimmt nährweise die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0=2 mithilfe des Differenzenquotienten für h->0

a) f(x)= 2/x

b) f(x)= 2x²-3

Aufgrund einer Erkrankung konnte ich für mehrere Tage  nicht am Unterricht teilnehmen und muss das Thema nacharbeiten. Mich würde es echt freuen wenn mir jemand behilflich sein könnte :-)

 

:-)

Comments

EDIT: Es steht jetzt oben auch h-> 0.

Man berechnet bei dieser Methode die Steigung m einer (blauen) Sekante. Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung

h ist im abgebildeten Steigungsdreieck das Δx (lies: 'Delta x' oder x-Unterschied)

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sorry, habe mich vertippt :-/
Ja ich meine h->0

Answer 1

f(x) = 2/x

m = (f(x + h) - f(x)) / h = (f(2 + 2) - f(2)) / 2 = (0.5 - 1) / 2 = -0.25

 

f(x) = 2x^2 - 3

m = (f(x + h) - f(x)) / h = m = (f(2 + 2) - f(2)) / 2 = (29 - 5) / 2 = 12

 

Aber für eine Näherung erscheint mir h = 2 ja doch etwas sehr ungenau.

Comments

meinte eigentlich auch h->0 habe mich leider vertippt :-/

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könntest du mir erklären was m bedeutet??

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f(x) = 2/x

Wir betrachten hier den Grenzwert für h gegen 0. Ich schreibe das aber nicht immer dazu

(f(x + h) - f(x)) / h
= (2/(x + h) - 2/x) / h
= (2x/(x(x + h)) - 2(x + h)/(x(x + h))) / h
= ((2x - 2(x + h))/(x(x + h))) / h
= (2x - 2x - 2h)/(x(x + h))) / h
= (- 2h)/(x^2 + xh) / h
= (- 2)/(x^2 + xh)
= (- 2)/(x^2)

Schreibe dir das aber mal mit vernünftigen Bruchstrichen auf. Dann wird das ganze etwas klarer.

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f(x) = 2x^2 - 3

(f(x + h) - f(x)) / h

= ((2(x + h)^2 - 3) - (2x^2 - 3)) / h

= ((2(x^2 + 2hx + h^2) - 3) - (2x^2 - 3)) / h

= (4hx + 2h^2) / h

= 4x + 2h

= 4x

 

Damit haben wir die Ableitungen gemacht und jetzt brauchen wir in beide nur noch x0 = 2 einsetzen und wir sind fertig.

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m wäre in dem Fall die Sekantensteigung gewesen. Jetzt beim Grenzwert h gegen 0 ist es die Tangentensteigung.