Schnittmenge affiner Ebenen

Question

Ich würde gern zeigen, dass die Schnittmenge zweier affiner Ebenen entweder ∅, E = E' oder E ∩ E' = L (affine Gerade) in ℝ³ ist.

Also als Unibeweis. Intuitiv ist alles vollkommen klar, aber ich stehe seit Stunden auf dem Schlauch...

Answer 1

Die Schnittmenge ist die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten (Koordinatenform).

Mittels Gaußverfahren ist die Lösungsmenge entweder leer, oder hat die Form

        \(\left\{\vec{a}+r\cdot \vec{v} + s\cdot\vec{w}|\ r,s\in \mathbb{R}\right\}\)

oder

        \(\left\{\vec{a}+r\cdot \vec{v}|\ r\in \mathbb{R}\right\}\)

mit \(\vec a,\vec v,\vec w \in \mathbb{R}^3\).

Comments

Das mag im Konkreten zwar sein, aber wie komme ich von der Koordinatenform dahin?

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Das habe ich geschrieben: mittels Gaußverfahren.

Answer 2

Die Koordinatenform von E und von E' liefern

gemeinsam eine zweizeilige Koeffizientenmatrix und

durch Hinzufügen der rechten Seiten deren erweiterte

Matrix. Sind die Ränge der beiden Matrizen verschieden,

so ist die Lösungsmenge leer. Sind die Ränge gleich, so hat die

Koeffizientenmatrix den Rang 1 oder 2, die Lösungsmenge also

die Dimension 2=3-1 (Ebene E=E')

oder die Dimension 1=3-2 (Schnittgerade).