Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Schnittmenge der beiden Ebenen:

$$E1: x=\left(\begin{array}{l} {0} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-4} \\ {0} \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} {0} \\ {-11} \\ {1} \end{array}\right)$$

$$E2: x=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {11} \\ {1} \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {6} \\ {1} \end{array}\right)+u\left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \\ {1} \end{array}\right)$$

Problem/Ansatz:

Habe versucht es mit einem aus den beiden Ebenen resultierenden LGS zu lösen, aber ich habe es leider nicht geschafft. Ich hoffe mir kann jemand helfen !

Answer 1

Gleichsetzen:

t=1-r-3u                           → -4t =-4+4r+12u

1-4t-11s=11+6r+2u

s=1+r+u                         → -11s=-11-11r-11u

---------------------------------------------

1-4+4r+12u-11-11r-11u=11+6r+2u

-14-7r+u=11+6r+2u

-25-13r=u    in E2 einsetzen → Geradengleichung (falls Schnittgerade existiert)

Answer 2

Du hast drei Gleichungen

x-Koordinate von E1 = x-Koordinate von E2

y-Koordinate von E1 = y-Koordinate von E2

z-Koordinate von E1 = z-Koordinate von E2

Damit wirst du 3 der 4 Parameter weg.

Der verbleibende Parameter steht vor dem Richtungsvektor der Schnittgeraden.