Wie funktioniert die Induktionsvoraussetzung für diesen Fall?

Question

Also bei normalen Induktionsvoraussetzungen ersetzt man ja einfach das Summenzeichen für n mit dem, was man beim Induktionsanfang raus hatte und addiert dann noch die Formel mit n+1 dazu.

Aber wie funktioniert das mit der Induktionsvoraussetzung, wenn man keine Summe hat, sondern eine Gleichung wie:

(1 + i)^c > 1 + ci für alle i > -1 und i ≠ 0 sowie c ∈ ℕ und c > 1 hat?

Dann rechnet man ja für c = 2 (Induktionsanfang):

⇒ (1 + i)² > 1 + 2i

⇒ 1 + 2i + i² > 1 + 2i

Da i > -1 und i ≠ 0 gilt, dass i² > 0 und somit ist auch 1 + 2i + i2 > 1 + 2i richtig.

Wenn ich aber nun den Induktionsschritt machen möchte mit c+1 verstehe ich nicht, wie ich die Induktionsvoraussetzung für das einfache c einsetzen soll, bzw. was diese überhaupt ist. Ich habe hier ja nicht wie bei Summen einen einfachen Term am Ende, sondern immer noch eine Ungleichung.

Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?

Answer 1

Man soll von (1 + i)^c > 1 + ci

auf

(1 + i)^c+1 > 1 + (c+1)i

schließen.

(1 + i^)c+1 bekommt man, wenn man

(1 + i)^c mit (1+i) multipliziert.

(Was bedeutet: zu (1+i)^c den Summanden i(1+c)^c zu  addieren.)

1 + (c+1)i bekommt man, wenn man

1 + ci mit i addiert.

Du musst also zeigen, dass i(1+c)^c größer als i ist.