Wie funktioniert hier die Äquivalenzumformung

Question

Aufgabe:

\( \sum \limits_{k=1}^{n+1} k^{3}=\sum \limits_{k=1}^{n} k^{3}+(n+1)^{3} \)

Problem/Ansatz

Wie komme ich von dem Schritt

\( \frac{(n+1)^{2} \cdot n^{2}+4(n+1)^{3}}{4} \)

zu diesem hier?

Ich versteh nicht den Zusammenhang →

\( \frac{(n+1)^{2} \cdot\left(n^{2}+4(n+1)\right)}{4} \)

Answer 1

Betrachte nur den Zähler

(n + 1)^2·n^2 + 4·(n + 1)^3

= (n + 1)^2·n^2 + 4·(n + 1)^2·(n + 1)

Du erkennst das der Faktor (n + 1)^2 ausgeklammert werden kann

= (n + 1)^2·n^2 + 4·(n + 1)^2·(n + 1)

= (n + 1)^2·(n^2 + 4·(n + 1))

Comments

vielen Dank !