Umformen und per Induktion beweisen: Nur noch Aufgabe b) Formel für Kn auf für den allgemeineren Fall?

Question

Aufgabe:

) Stellen Sie eine analoge Formel für Kn auf für den allgemeineren Fall Kn+1 = (1+p)Kn+((1+q)^n)R,
mit q ∈ (0,p) und beweisen Sie sie per Induktion. (q entspricht beispielsweise einem Inflationsausgleich der Rate.)

Könnten Sie bitte bisschen erklären und lösen

Ich wäre dankbar.

Nachtrag: Vollständige Frage.

Ein Konto beginne zum Zeitpunkt n = 0 Jahre mit einem Guthaben K0 > 0. Das Guthaben zum Zeitpunkt n + 1 berechnet sich aus dem zum Zeitpunkt n vermittels:
Kn+1 =(1+p)Kn+R,
wobei p ∈ (0, 1) der Zinssatz und R ≥ 0 eine jährlich eingezahlte Rate ist, die sich in ihrer Höhe nicht ändert, und erst nach der Zinsberechnung eingezahlt wird. Beweisen Sie die sogenannte

Kn = K0·(1+p)^{n} +R.((1 + p)^{n} − 1)/p
Sparkassenformel rigoros mittels eines Induktionsbeweises:
fürallen∈N0. Anmerkung: Der Beweis auf Wikipedia ist weder rigoros, noch ein Induktionsbeweis




b) Stellen Sie eine analoge Formel für Kn auf für den allgemeineren Fall Kn+1 = (1+p)Kn +(1+q)nR,
mit q ∈ (0,p) und beweisen Sie sie per Induktion. (q entspricht beispielsweise einem Inflationsausgleich der Rate.)

b hängt nicht mit teil a) ab

Comments

Ein Konto beginne zum Zeitpunkt n = 0 Jahre mit einem Guthaben K0 > 0. Das Guthaben zum Zeitpunkt n + 1 berechnet sich aus dem zum Zeitpunkt n vermittels:
Kn+1 =(1+p)Kn+R,
wobei p ∈ (0, 1) der Zinssatz und R ≥ 0 eine jährlich eingezahlte Rate ist, die sich in ihrer Höhe nicht ändert, und erst nach der Zinsberechnung eingezahlt wird. Beweisen Sie die sogenannte

Kn = K0·(1+p)^n +R.((1 + p)^n − 1)/p

Sparkassenformel rigoros mittels eines Induktionsbeweises:
fürallen∈N0. Anmerkung: Der Beweis auf Wikipedia ist weder rigoros, noch ein Induktionsbeweis

b) Stellen Sie eine analoge Formel für Kn auf für den allgemeineren Fall Kn+1 = (1+p)Kn +(1+q)nR,
mit q ∈ (0,p) und beweisen Sie sie per Induktion. (q entspricht beispielsweise einem Inflationsausgleich der Rate.)

b hängt nicht mit teil a) ab

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Habe ich schon teil a gelöst

Aber teil b keine Ahnung wie ich das lösen kann

In vorherige kommentar steht die ganze Frage

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Könntest du die a) noch erklären?

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Lösung teil a

Answer 1

Ich tippe auf: $$K_n = (1+p)^nK_0 + \frac{(1+p)^{n} - (1+q)^{n}}{p-q}R$$Gefunden durch 'intelligentes Probieren' ;-)

Beweis per Induktion - Induktionsanfang: $$K_0 = 1 \cdot K_0 + \frac {1-1}{p-q} R = K_0 \space \checkmark$$Induktionsschritt: dazu muss man den zweiten Bruch noch etwas umformen. Es ist $$\frac{(1+p)^{n} - (1+q)^{n}}{p-q} = \sum_{i=0}^{n-1} \left( (1+p)^{n-1-i} \cdot (1+q)^i \right)$$Damit ist dann$$\begin{aligned} K_{n+1} &= (1+p)K_n+(1+q)^nR \\ &=  (1+p)\left( (1+p)^nK_0 + \frac{(1+p)^{n} - (1+q)^{n}}{p-q}R\right)+(1+q)^n R \\&= (1+p)^{n+1} K_0 + R \cdot \sum_{i=0}^{n-1} \left( (1+p)^{n-i} \cdot (1+q)^i \right) + (1+q)^n R \\&= (1+p)^{n+1} K_0 + R \cdot \sum_{i=0}^{n} \left( (1+p)^{n-i} \cdot (1+q)^i \right) \\&=  (1+p)^{n+1} K_0 + \frac{(1+p)^{n+1} - (1+q)^{n+1}}{p-q} R \\ & \text{q.e.d.}\end{aligned}$$Zum Verständnis: achte bei den Umwandlungen auf die Exponenten und die Grenzen des Laufindex der Summe.

Frage bitte möglichst konkret nach, falls Du etwas nicht verstehst.