Zeigen, dass Funktion eine Metrik ist / Verständnisfrage

Question

folgende Aufgabe:

Sei X eine Menge und n∈ℕ_≥1. Zeige, dass folgende Funktion eine Metrik auf Xⁿ ist:
d: X^n x X^n -> ℝ, ( (x_i)_1≤i≤n, (y_i)_1≤i≤n )  -> | { i ∈ {1,...,n} : x_{i ≠} y_i } |

Ich soll also die 3 Kriterien einer Metrik nachweisen.

Allerdings habe ich die Funktion noch nicht verstanden.

Es sieht für mich so aus, als würde gezählt werden, in wie vielen Komponenten die beiden Folgen? sich ungleich sind, allerdings verwirrt mich auch das i.

Kann vielleicht jemand umgangssprachlich beschreiben, was die Funktion genau als Argumente nimmt und wie sie funktioniert?

Answer 1

Das bedeutet:  Jedem Paar von Vektoren aus R^n , also

( (xi)1≤i≤n, (yi)1≤i≤n )  hätte man wohl auch schreiben können

( (x1,x2,..…,xn) ,(y1.y2,...,yn) )    wird zugeordnet

die Mächtigkeit der Menge  { i ∈ {1,...,n} : xi ≠ yi } ,

also die Anzahl der Stellen, an denen die Komponenten

der Vektoren verschieden sind, also etwa

( (1,1,0,0,) , ( 1,2,3,4) )  --->  3   oder

( (1,1,0,0,) , ( 1,1,3,0) ) → 1   etc.

Comments

Danke für die Hilfe!

Ist es dann bereits ausreichend, wenn ich für das Kriterium der positiven Definitheit schreibe: "=>" Es gelte d(x,y) = 0. Dann gilt f.a. i∈{1,..,n} xi-yi und damit gilt x=y. Analog dann die andere Richtung "<=". ?

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Ja, das hört sich doch gut an .