Zeigen, dass d(x, y)=|p(x)-p(y)| eine Metrik ist

Question

Aufgabe:

Sei \( \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R} \cup\{ \pm \infty\} \). Wir definieren \( p(x)=\frac{x}{1+|x|} \) für \( x \in \mathbb{R} \) und \( p(\infty)=-p(-\infty)=1 \). Zeigen Sie, dass die Abbildung \( d: \overline{\mathbb{R}} \times \overline{\mathbb{R}} \rightarrow \mathbb{R} \), definert durch \( d(x, y)=|p(x)-p(y)| \) für \( x, y \in \overline{\mathbb{R}} \), eine Metrik auf \( \overline{\mathbb{R}} \) ist.

Problem/Ansatz:

Positivität, Symmetrie und Dreiecksungleichung zeigen ist mir klar. Verstehe aber, glaube ich, die Angabe nicht wirklich und komme nicht weiter.

Comments

Welchen Teil der Aufgabe verstehst du nicht?

Wenn ich alles richtig verstanden habe, musst du für die Funktion \( d(x, y) = |p(x) - p(y)| \) die Metrikeigenschaften für beliebige Elemente \(x, y\) aus \( \overline{\mathbb{R}} \) zeigen.

Da mit Beträgen gearbeitet wird, ist eine Fallunterscheidung zu empfehlen.

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Warum brauch ich die Fallunterscheidung? Der Betrag ist dich immer positiv - was übersehe ich da wesentliches?

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Stimmt, mein Fehler, sorry.

Was meinst du denn mit "die Angabe nicht wirklich" verstehen?

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Wenn ich die Kriterien zeige würde ich das doch hiermit machen \( d(x, y)=|p(x)-p(y)| \).

\( p(x)=\frac{x}{1+|x|} \) für \( x \in \mathbb{R} \) und \( p(\infty)=-p(-\infty)=1 \) - diese Angebe verwirrt mich?

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Symmetrie wäre dann:\( d(x, y)=|p(x)-p(y)| \) = \(|p(y)-p(x)| \) (durch den Betrag ist es ja immer positiv)

Für die Positivität muss ich ja zeigen:\( d(x, y)\)=0 ↔ x=y\(|p(x)-p(y)| \) = 0

Wie hilft mir da jetzt die Injektivität genau weiter?

Answer 1

Kein Grund zur Verwirrung. Die konkrete Form von p spielt nur für eine Eigenschaft eine Rolle.

Dreiecksungleichung einfach

$$d(x,y)=|p(x)-p(y)|=|p(x)-p(z)+p(z)-p(y)| \\ \quad \leq |p(x)-p(z)|+|p(z)-p(y)|=d(x,z)+d(z,y)$$

Noch einfacher ist die Symmetrie.

Für die Definitheit benötigt man den Nachweis, dass p injektiv ist.

Comments

Alles klar - danke dir ☺

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Symmetrie wäre dann:

\( d(x, y)=|p(x)-p(y)| \) = \(|p(y)-p(x)| \) (durch den Betrag ist es ja immer positiv)

Für die Positivität muss ich ja zeigen:

\( d(x, y)\)=0 ↔ x=y

\(|p(x)-p(y)| \) = 0

Wie hilft mir da jetzt die Injektivität genau weiter

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Aus |p(x)-p(y)|=0 folgt doch p(x)=p(y). Wie folgt dann x=y?

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Hast recht - die Positivität heißt: |p(x)-p(y)|=0 ↔ p(x)=p(y).

Wie ich das jetzt mit injektiv zeige, versteh ich aber immer noch nicht?

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Injektivität heißt doch gerade \(p(x)=p(y) \Rightarrow x=y\). Den Nachweis, dass p injektiv ist kann man über die strenge Montonie erbringen, diese über die Positivität der ersten Ableitung ...

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Stimmt - Danke