Sei D offen und beide partiell differenzierbar

Question

Sei \( n \in \mathbb{N} {\text {und }} D \subseteq \mathbb{R}^{n} \) sei offen. Ferner seien \( f: D \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) und \( \varphi: D \rightarrow \mathbb{R} \) beide partiell differenzierbar. Zeigen Sie:

i) \( \operatorname{div}(\varphi f)=\langle\nabla \varphi, f\rangle+\varphi \operatorname{div}(f) \).

ii) Ist \( n=3 \), gilt außerdem \( \operatorname{rot}(\varphi f)=\nabla \varphi \times f+\varphi \operatorname{rot}(f) \).

Aufgabe:

Answer 1

Aloha :)$$\nabla\varphi\cdot\vec f+\varphi\,\operatorname{div}\vec f=\begin{pmatrix}\partial_1\varphi\\\vdots\\\partial_n\varphi\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}f_1\\\vdots\\f_n\end{pmatrix}+\varphi\sum\limits_{k=1}^n\partial_kf_k=\sum\limits_{k=1}^n\partial_k\varphi\cdot f_k+\sum\limits_{k=1}^n\varphi\cdot\partial_kf_k$$$$\phantom{\nabla\varphi\cdot\vec f+\varphi\,\operatorname{div}\vec f}=\sum\limits_{k=1}^n\left(\partial_k\varphi\cdot f_k+\varphi\cdot\partial_kf_k\right)\stackrel{(\text{Produktregel})}{=}\sum\limits_{k=1}^n\partial_k(\varphi\cdot f_k)=\operatorname{div}(\varphi\cdot\vec f)$$

$$\nabla\varphi\times\vec f+\varphi\operatorname{rot}\vec f=\begin{pmatrix}\partial_1\varphi\\\partial_2\varphi\\\partial_3\varphi\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}f_1\\f_2\\f_3\end{pmatrix}+\varphi\begin{pmatrix}\partial_1\\\partial_2\\\partial_3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}f_1\\f_2\\f_3\end{pmatrix}$$$$\phantom{\nabla\varphi\times\vec f+\varphi\operatorname{rot}\vec f}=\begin{pmatrix}\partial_2\varphi\cdot f_3-\partial_3\varphi\cdot f_2\\\partial_3\varphi\cdot f_1-\partial_1\varphi\cdot f_3\\\partial_1\varphi\cdot f_2-\partial_2\varphi\cdot f_1\end{pmatrix}+\varphi\begin{pmatrix}\partial_2f_3-\partial_3f_2\\\partial_3f_1-\partial_1f_3\\\partial_1f_2-\partial_2f_1\end{pmatrix}$$$$\phantom{\nabla\varphi\times\vec f+\varphi\operatorname{rot}\vec f}=\begin{pmatrix}\pink{\partial_2\varphi\cdot f_3}-\partial_3\varphi\cdot f_2\\\pink{\partial_3\varphi\cdot f_1}-\partial_1\varphi\cdot f_3\\\pink{\partial_1\varphi\cdot f_2}-\partial_2\varphi\cdot f_1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\pink{\varphi\cdot\partial_2f_3}-\varphi\cdot\partial_3f_2\\\pink{\varphi\cdot\partial_3f_1}-\varphi\cdot\partial_1f_3\\\pink{\varphi\cdot\partial_1f_2}-\varphi\cdot\partial_2f_1\end{pmatrix}$$$$\phantom{\nabla\varphi\times\vec f+\varphi\operatorname{rot}\vec f}=\begin{pmatrix}(\pink{\partial_2\varphi\cdot f_3+\varphi\cdot\partial_2f_3})-(\partial_3\varphi\cdot f_2+\varphi\cdot\partial_3f_2)\\(\pink{\partial_3\varphi\cdot f_1+\varphi\cdot\partial_3f_1})-(\partial_1\varphi\cdot f_3+\varphi\cdot\partial_1f_3)\\(\pink{\partial_1\varphi\cdot f_2+\varphi\cdot\partial_1f_2})-(\partial_2\varphi\cdot f_1+\varphi\cdot\partial_2f_1)\end{pmatrix}$$$$\phantom{\nabla\varphi\times\vec f+\varphi\operatorname{rot}\vec f}\stackrel{(\text{Produktregel})}{=}\begin{pmatrix}\pink{\partial_2(\varphi\cdot f_3})-\partial_3(\varphi\cdot f_2)\\\pink{\partial_3(\varphi\cdot f_1})-\partial_1(\varphi\cdot f_3)\\\pink{\partial_1(\varphi\cdot f_2)}-\partial_2(\varphi\cdot f_1)\end{pmatrix}$$$$\phantom{\nabla\varphi\times\vec f+\varphi\operatorname{rot}\vec f}=\begin{pmatrix}\partial_1\\\partial_2\\\partial_3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\varphi\cdot f_1\\\varphi\cdot f_2\\\varphi\cdot f_3\end{pmatrix}=\operatorname{rot}(\varphi\cdot\vec f)$$