Finden Sie alle n ∈ N, so dass s(n) genau drei Teiler hat. Primfaktorzelgeungen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n gilt:
Die Summe s(n) = n + (n + 1) + (n + 2) + . . . + (n + 10) ist keine Primzahl. Finden
Sie alle n ∈ N, so dass s(n) genau drei Teiler hat.

Problem/Ansatz:

Leider ahb ich keine Idee wie es lösen könnte. Kann mir da jemand vielleicht helfen und mir erklären wie man die Aufgabe lösen kann.

Answer 1

Hallo,

Man kann jede Zahl \(z \in \mathbb N\) schreiben als$$z = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot p_3^{e_3} \dots$$wobei \(p_i\) paarweise verschiedene Primzahlen sind. Die Anzahl der Teiler \(d(z)\) ist dann$$d(z) = (e_1+1)(e_2+1)(e_3+1) \dots$$Siehe hier. Wenn eine Zahl \(z\) genau drei Teiler hat, kann \(z\) nur das Quadrat einer Primzahl sein. Und weiter ist $$s(n) = 11n + 55 = 11(n+5)$$immer durch \(11\) teilbar. Folglich ist nur $$s(6) = 11(6+5) = 11^2$$ eine Zahl mit genau drei Teilern.

Answer 2

n + (n + 1) + (n + 2) + . . . + (n + 10)=11(n+5). Für welche n hat n+5 genau zwei Teiler? Das sind Zahlen ohne gemeinsames Muster.

Comments

Also kann es sein das N=6 ist, weil dann wäre es dann die Teiler 11, 5 und 3?

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Für welche n hat n+5 genau zwei Teiler?

Wieso sollte dich die Beantwortung dieser Frage dem eigentlichen Problem näher bringen ?

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Entschuldigung. Ich habe 'Teiler' mit 'Primfaktoren' verwechselt. Die richtige Antwort hat Werner Salomon gegeben.