Ermittlung mittels Beweis

Question

Aufgabe:

Es seien \(z,w \in \mathbb{C}\). Beweisen Sie,

a) \(\displaystyle\operatorname{Re}(z) = \frac{z + \overline{z}}2,\quad \operatorname{Im}(z)=\frac{ z -\overline{z}}{2i}\)

b) \(z \in \mathbb R ⇔z = \overline z\)

c) \(\displaystyle \overline{\overline z} = z\)

d) \(\overline{z+ w} = \overline z + \overline w\)

e) \(\overline{zw}= \overline{z}\cdot \overline{w}\)

Answer 1

Aloha :)

Du kannst jede komplexe Zahl in Real- und Imaginärteil aufspalten. Im Folgenden seien:$$z=a+ib\quad;\quad w=c+id$$

Damit erhalten wir:$$\operatorname{Re}(z)=a=\frac{2a}{2}=\frac{2a+\overbrace{ib-ib}^{=0}}{2}=\frac{(a+ib)+(a-ib)}{2}=\frac{z+\overline z}{2}$$$$\operatorname{Im}(z)=b=\frac{2b}{2}=\frac{2ib}{2i}=\frac{\overbrace{a-a}^{=0}+2ib}{2i}=\frac{(a+ib)-(a-ib)}{2i}=\frac{z-\overline z}{2i}$$$$z\in\mathbb R\implies z=a+i\cdot0=a-i\cdot0=\overline z$$$$\overline{\overline z}=\overline{\overline{a+ib}}=\overline{a-ib}=a+ib=z$$$$\overline{z+w}=\overline{(a+ib)+(c+id)}=\overline{(a+c)+i(b+d)}=(a+c)-i(b+d)$$$$\phantom{\overline{z+w}}=(a-ib)+(c-id)=\overline z+\overline w$$$$\overline{zw}=\overline{(a+ib)(c+id)}=\overline{ac+ibc+iad+i^2bd}=\overline{(ac-bd)+i(bc+ad)}$$$$\phantom{\overline{zw}}=(ac-bd)-i(bc+ad)=ac-ibc-iad+i^2bd=(a-ib)(c-id)=\overline z\cdot\overline w$$

Answer 2

\(   Re z =\frac{ z + \overline{z} }{2}   \)

Beginne mit : Sei \(  z=a+bi \)  Dann ist \( \overline{z} = a-bi \)

Also \( \frac{ z + \overline{z} }{2} =  \frac{ a+bi +a-bi }{2} =  \frac{ 2a }{2} = a = Re(z) \)

etc.