Gibt es ein noch kleineres n0?

Question

Aufgabe:

Das kleinstmögliche n₀ finden. Für a_n=1/6^n-1 mit Epsilon 0,01. Ich erhalte 357/100. Gibt es ein noch kleineres n₀ oder ist das schon das Ergebnis?

Answer 1

Aloha :)

$$a_n<\varepsilon\quad\big|\text{einsetzen}$$$$\frac{1}{6^{n-1}}<\frac{1}{100}\quad\text{Kehrwert}$$$$6^{n-1}>100\quad\big|\ln(\cdots)$$$$(n-1)\cdot\ln(6)>\ln(100)\quad\big|\div\ln(6)$$$$n-1>\frac{\ln(100)}{\ln(6)}\quad\bigg|+1$$$$n>1+\frac{ln(100)}{\ln(6)}$$$$n>3,57\ldots$$Da \(n\in\mathbb N\) sein soll, ist die kleinste mögliche Lösung \(n=4\).