Bestimmen sie ausgehend von {e}^{x}=\lim _{n → ∞}(1+\frac{x}{n})^{n} den Grenzwe

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie ausgehend von \( \mathrm{e}^{x}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \) den Grenzwert
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{4}{n}\right)^{5 \cdot n} . \)
Hinweis: \( \infty \) können Sie mit "inf" und \( -\infty \) mit "minf" darstellen.
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}\right)= \)

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand den Lösungsweg zeigen ich blicke gar nicht durch mehr durch Leute .. Danke im Voraus ihr Lieben :**

Answer 1

Hallo

a^5n=(a^n)^5 das wende auf den Ausdruck mit x=-4 an

Gruß lul

Answer 2

(1 - 4/n)^(5·n)

= (1 - 5·4/(5·n))^(5·n)

substituiere z = 5·n

= (1 - 5·4/z)^z

= (1 + (- 20)/z)^z

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Erweitere den Bruch mit \(5\), damit im Nenner dasselbe steht wie im Exponenten:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac4n\right)^{5n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{20}{5n}\right)^{5n}\stackrel{(N\coloneqq5n)}{=}\lim\limits_{N\to\infty}\left(1-\frac{20}{N}\right)^{N}=e^{-20}$$

Da \(n\) gegen unendlich geht, gilt das für \(N=5n\) erst recht ;)