Für welche a hat \int _{1}^{z} \frac{1}{x^{2}} d x für z → ∞ einen Grenzwert?

Question

Aufgabe:

a) Für welche a hat \( \int \limits_{1}^{z} \frac{1}{x^{2}} d x \) für \( z \rightarrow \infty \) einen Grenzwert?
b) Für welche a hat \( \int \limits_{z}^{1} \frac{1}{x^{a}} d x \) für \( z \rightarrow 0 \) einen Grenzwert?

Problem/Ansatz:

Also, sind neu in dem Thema, deswegen kenne ich mich nicht so gut aus. Mein einziger Lösungsansatz war, dass ich einfach verschiedene Werte von a im Taschenrechner ausprobiert habe. Daraufhin habe ich bei a) geschlussfolgert, wenn a>1 ist, entsteht ein Grenzwert. Bei b), a<1.

Würde gerne wissen, ob es jedoch einen Rechenweg dazu gibt und wie dieser aussehen würde.

Dankeschön im Voraus.

Comments

Hallo,

kannst Du das angegebene Integral nicht berechnen oder was ist Dein Problem?

Gruß Mathhilf

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"Für welche a hat \( \int \limits_{1}^{z} \frac{1}{x^{2}} d x \) für \( z \rightarrow \infty \) einen Grenzwert?"

Im Integral ist gar kein a.

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Ach Gott tut mir leid, anscheinend wurde das Foto nicht richtig verarbeitet von der Website, bei dem x^ 2 sollte es eigentlich x^ a heissen.

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@mathhilf

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie man rechnerisch darauf kommen soll, bei welchem Wert für a der Integral einen Grenzwert hat

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Zuerst kann man das Integral

$$\int_1^z x^{-a} dx$$

doch mal berechnen und dann versuchen den Grnzeübergang \( z \to \infty\) zu machen

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Zuerst kann man das Integral

$$\int_1^z x^{-a} dx$$

doch mal berechnen und dann versuchen den Grenzübergang \( z \to \infty\) zu machen

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Das Ergebnis ist nur “undefined”

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Was ist "undefined"? Was ist das Ergebnis des Integrals?