Zeigen Sie: \lim _{x → ∞} \int _{0}^{x} f(t) {d} t=∞ .

Question

Text erkannt:

Sei \( f: \mathbb{R}_{\geq 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0} \) auf \( [0, R] \) Riemann-integrierbar für alle \( R>0 \) und \( C>0 \) eine Konstante, sodass \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x) \int \limits_{0}^{\frac{x}{x}} f(t) \mathrm{d} t=C>0 \). Zeigen Sie: \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\infty \).
Hinweis: Vgl. Analysis I Bemerkung 5.25; für \( g: A \rightarrow \mathbb{R}, A \subseteq \mathbb{R} \) (nach oben nicht beschränkt):
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} g(x)=\infty: \Longleftrightarrow \forall S \in \mathbb{R} \exists M>0 \forall x \in A \text { mit } x>M: g(x)>S . \)

Ich habe leider gar keinen Ansatz, kann mir jemand helfen?

Comments

Ein indirekter Beweis führt hier schnell zum Ziel.

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Ich hab immer noch keine Idee. Das hatte ich versucht, aber es hat irgendwie nicht funktioniert

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Was folgt aus der Annahme   \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=7 \)  über \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x) \) ?
Was folgt daraus dann weiter über  \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x) \int \limits_{0}^{{x}} f(t) \mathrm{d} t \)  ?

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Steht da 7? Dann würde mich die Antwort auf Deine erste Frage interessieren.

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Steht da 7?   Könnte auch 8 sein, C war schon vergeben.

die Antwort auf Deine erste Frage ist 0

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Was hältst Du von folgendem Beispiel.

$$f:\R_{\geq 0} \to \R_{\geq 0}, \quad f(x):=1 \text{ für }x \in [n,n+2^{-n}], \quad f(x):=0 \text{ sonst}$$

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Du bist gemein, mir meine schöne Idee so brutal kaputt zu machen.

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Dein Ansatz führt durchaus zu einer Lösung - nur nicht genau so wie Du anscheinend dachtest.

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Hallo, jetzt habt ihr beiden mich wirklich ziemlich verwirrt. Könnte mir bitte jemand nochmal genau erklären, wie diese Aufgabe zu lösen ist? Ich komme immer noch nicht weiter.

Answer 1

Weil die Funktionswerte von f nichtnegativ sind, ist

$$h:\R_{\geq 0} \to \R_{\geq 0}, \quad h(x):=\int_0^x f$$

monoton wachsend. Für das Verhalten von h für große x gibt es 3 Möglichkeiten, von denen 2 aufgrund der zusätzlichen Voraussetzung ausscheiden:

1. h ist identisch 0. Dann ist für alle x f(x)h(x)=0 und die Voraussetzung C>0 ist verletzt.

2. h ist nicht identisch 0 und beschränkt, \(h(x) \to D>0\) für \(x \to \infty\). Dann folgt aus der Voraussetzung für große x:

$$f(x)=\frac{f(x)h(x)}{h(x)} \to \frac{C}{D}>0 \Rightarrow \left[ \exists y>0:\quad f(x) \geq 0.5 \frac{C}{D} \text{ für } x \geq y\right]$$

Damit wär für \(x \geq y\):

$$h(x) \geq \int_y^xf \geq 0.5 (x-y)\frac{C}{D} \to \infty$$

3. \(\lim_{x \to \infty}h(x)=\infty\). Nur dieser Fall entspricht den Voraussetzungen.