Zeigen Sie: \lim x → ∞ \int 0x f(t) {d} t=∞ .

Question

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Sei $f: \mathbb{R}_{\geq 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ auf $[0, R]$ Riemann-integrierbar für alle $R>0$ und $C>0$ eine Konstante, sodass $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x) \int \limits_{0}^{\frac{x}{x}} f(t) \mathrm{d} t=C>0$. Zeigen Sie: $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\infty$.
Hinweis: Vgl. Analysis I Bemerkung 5.25; für $g: A \rightarrow \mathbb{R}, A \subseteq \mathbb{R}$ (nach oben nicht beschränkt):
$\lim \limits_{x \rightarrow \infty} g(x)=\infty: \Longleftrightarrow \forall S \in \mathbb{R} \exists M>0 \forall x \in A \text { mit } x>M: g(x)>S .$

Ich habe leider gar keinen Ansatz, kann mir jemand helfen?

Comments

Ein indirekter Beweis führt hier schnell zum Ziel.

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Ich hab immer noch keine Idee. Das hatte ich versucht, aber es hat irgendwie nicht funktioniert

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Was folgt aus der Annahme   $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=7$  über $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x)$ ?
Was folgt daraus dann weiter über  $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x) \int \limits_{0}^{{x}} f(t) \mathrm{d} t$  ?

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Steht da 7? Dann würde mich die Antwort auf Deine erste Frage interessieren.

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Steht da 7?   Könnte auch 8 sein, C war schon vergeben.

die Antwort auf Deine erste Frage ist 0

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Was hältst Du von folgendem Beispiel.

$$f:\R_{\geq 0} \to \R_{\geq 0}, \quad f(x):=1 \text{ für }x \in [n,n+2^{-n}], \quad f(x):=0 \text{ sonst}$$

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Du bist gemein, mir meine schöne Idee so brutal kaputt zu machen.

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Dein Ansatz führt durchaus zu einer Lösung - nur nicht genau so wie Du anscheinend dachtest.

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Hallo, jetzt habt ihr beiden mich wirklich ziemlich verwirrt. Könnte mir bitte jemand nochmal genau erklären, wie diese Aufgabe zu lösen ist? Ich komme immer noch nicht weiter.

Answer 1

Weil die Funktionswerte von f nichtnegativ sind, ist

$$h:\R_{\geq 0} \to \R_{\geq 0}, \quad h(x):=\int_0^x f$$

monoton wachsend. Für das Verhalten von h für große x gibt es 3 Möglichkeiten, von denen 2 aufgrund der zusätzlichen Voraussetzung ausscheiden:

1. h ist identisch 0. Dann ist für alle x f(x)h(x)=0 und die Voraussetzung C>0 ist verletzt.

2. h ist nicht identisch 0 und beschränkt, $h(x) \to D>0$ für $x \to \infty$. Dann folgt aus der Voraussetzung für große x:

$$f(x)=\frac{f(x)h(x)}{h(x)} \to \frac{C}{D}>0 \Rightarrow \left[ \exists y>0:\quad f(x) \geq 0.5 \frac{C}{D} \text{ für } x \geq y\right]$$

Damit wär für $x \geq y$:

$$h(x) \geq \int_y^xf \geq 0.5 (x-y)\frac{C}{D} \to \infty$$

3. $\lim_{x \to \infty}h(x)=\infty$. Nur dieser Fall entspricht den Voraussetzungen.