Temperaturzunahme eines Getränks mit (n+1)*5 beschreiben

Question

Temperaturzunahme eines Getränks mit (n+1)*5 beschreiben

2. Modellieren
Ein Schulbuch für das 9. Schuljahr, enthält innerhalb des Abschnitts „Modellieren und Simulieren" eine der folgenden im Kern ähnliche Aufgabe (hier aber gekürzt und durch eine zusätzliche Information ergänzt):

Conny hat sich ein Glas mit Fruchtsaft geholt, um ihn auf der Terrasse zu genießen. Der Fruchtsaft kommt aus dem Kühlschrank, in dem eine Temperatur von $ 6^{\circ} \mathrm{C} $ herrscht. DrauBen auf der Terrasse ist es an diesem Sommertag allerdings $ 38^{\circ} \mathrm{C} $ warm. Kaum hat sich Conny hingesetzt, als das Telefon läutet. Als sie nach 5 Minuten zurückkehrt, hat der Fruchtsaft eine Temperatur von $ 11^{\circ} \mathrm{C} $ erreicht.
Beschreibe die auftretenden Größen und ihre Wechselwirkungen. Verdeutliche in einer Skizze, wie die Größen des Sachzusammenhangs aufeinander einwirken.
Überlege, durch welche Annahmen über den Erwärmungsprozess die Realität möglichst gut erreicht wird. Berechne dann die erreichte Temperatur ... und stelle die Temperaturentwicklung grafisch dar.

Hinweis: Die beiden der Aufgabe vorangegangenen Seiten des Schulbuches sind weiter hinten abgedruckt. Diese sollen Ihnen vor allem zur Orientierung hinsichtlich dessen dienen, was in der Aufgabe unter der Beschreibung und grafischen Veranschaulichung von Wechselwirkungen von Größen gemeint ist.

Text erkannt:

b) Entwickeln Sie nun anhand der auftretenden Größen und ihrer Wechselwirkungen ein sinnvolles mathematisches Modell, auf dessen Grundlage sich die Aufgabe lösen lässt. Überlegen Sie dabei insbesondere, von welcher Größe das Maß der Temperaturänderung in einer Zeiteinheit (hier 5 Minuten) abhängt. Das Modell muss eine Formel beinhalten, mithilfe derer sich die Temperatur nach $ (n+1) \cdot 5 $ Minuten berechnen lässt, wenn die Temperatur nach $ n \cdot 5 $ Minuten bereits bekannt ist. $ 5 \mathrm{Pkt} $.
c) Berechnen Sie anhand des in b) entwickelten Modells die Temperatur des Saftes nach 10, 15, 20, 25 und 30 Minuten und stellen Sie den Temperaturverlauf tabellarisch und grafisch dar.
3 Pkt.
Dabei dürfen nur mathematische Grundlagen verwendet werden, die in der Klassenstufe 9 zur Verfügung stehen. Dies trifft auf Exponentialfunktionen $ i $. Allg. nicht zu. Diese dürfen Sie also nicht benutzen, ebenso wenig physikalische Formeln, die Schülerinnen und Schülern der 9. Klasse nicht bekannt sind (wie das Newton'sche Abkühlungsgesetz). Sie sollen also ein Modell auf Grundlage elementarer Überlegungen und plausibler Annahmen entwickeln. Sie können auf diesen Grundlagen keine explizite Gleichung aufstellen, welche die Temperatur in Abhängigkeit von der Zeit angibt, aber (wie unter b) beschrieben) eine Formel, mithilfe derer sich die Temperatur nach $ (n+1) \cdot 5 $ Minuten berechnen lässt, wenn die Temperatur nach $ n \cdot 5 $ Minuten bereits bekannt ist. Damit lässt sich dann c) schrittweise lösen.

Kommentiert 15 Nov 2022 von Willy1903

📘 Siehe "Temperatur" im Wiki

2 Antworten

Beste Antwort

Hallo :-)

Ich definiere mal folgende Größen:

$T=38°C$ sei die Außentemperatur, $T_n$ die Temperatur vom Getränkt nach $n$ Zeiteinheiten.

Weiter bezeichnet die Größe $\Delta T_{n-1,n}$ den Temperaturanstieg, der zwischen der $n-1$ -ten und der $n$-ten Zeiteinheit entsteht. Und jetzt mal eine kleine Überlegung: Je größer die Differenz $T-T_n$ ist, desto größer ist doch auch der Temperaturanstieg in einer Zeiteinheit. (*)

Dann definiert $T_{n}=T_{n-1}+\Delta T_{n-1,n}$ die neue Temperatur in der $n$-ten Zeiteinheit, also nach $n$ mal 5min.

Zu Beginn hat man $n=0$:

$T_0=6°C$. Das ergibt eine Temperaturdifferenz $T-T_0=32°C$.

Nach 5 min hat man eine erste Zunahme zu verzeichnen, also $n=1$:

$T_1=11°C$.Das ergibt eine Temperaturdifferenz $T-T_1=27°C$ und einen Temperaturanstieg von $\Delta T_{0,1}=5°C$. Die Temperaturdifferenz $T-T_0=32°C$ bewirkte also einen Temperaturanstieg von $\Delta T_{0,1}=5°C$.

Betrachte $n=2$:

Wie hoch ist nun der Temperaturanstieg $\Delta T_{1,2}=$?

Aus der Überlegung von (*) macht man eine Dreisatzrechnung und kommt auf einen Temperaturanstieg von $$\Delta T_{1,2}=\frac{T-T_1}{T-T_0}\cdot \Delta T_{0,1}=\frac{27°C}{32°C}\cdot 5°C\approx 4.22°C.$$

Das sieht schonmal sinnvoll aus, da nun die Temperaturdifferenz von zu vor $T-T_1=27°C$ jetzt nur noch einen Anstieg von $4.22°C$ bewirkte. Und eine Stufe darunter waren es bei der Temperaturdifferenz von $T-T_0=32°C$ sogar noch $5°C$.

Das ergibt nun eine neue Temperatur

$T_{2}=T_{1}+\Delta T_{1,2}\approx 11°C+4.22°C=15.22°C$

Allgemein bekommt man also:

$$ T_0=5°C\\T_1=11°C\\\Delta T_{0,1}=5°C $$

Für $n\in \N$ mit $n\geq 2$

$$\Delta T_{n-1,n}=\frac{T-T_{n-1}}{T-T_{n-2}}\cdot \Delta T_{n-2,n-1}\\T_n=T_{n-1}+\Delta T_{n-1,n}$$

Tabellarisch kann man das so aufstellen:

$n$	$\Delta T_{n-1,n}$	$T_n$	$T-T_n$
0	unbekannt	6°C	32°C
1	5°C	11°C	27°C
2	4.22°C	15.22°C	22.78°C
3	3.56°C	18.78°C	19.22°C

Schematisch arbeitet man jede Zeile von links nach rechts ab und benutzt dabei die Formeln. Die Tabelle musst du jetzt bis $n=6$ (30min) fortsetzen.

Beantwortet 15 Nov 2022 von hallo97

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

lul · Answer 1 · 2022-11-15T18:58:42+0000

Hallo

9. Klasse erster Gedanke lineare Funktion in 5 Minuten 5 ° Erwärmung in n*5 Minuten also n*5° oder in n+1 Minuten Tn+5°

dann zeigen dass es eigentlich je näher man den 38° kommt immer länger dauert. als kommt es auf die Differenz 38-T an und es wächst exponentiell langsamer bei der Differenz 32 wächst die Differenz auf von 32 auf auf 29 also um 32/29=1,10 also mit dem Faktor 1,1 oder 32/29 genaue

wenn sich die Differenz immer in 5 Minuten um den Faktor 1,1 verändert und die Temperatur nach n Min. kennst als T(5n) ist auch die die Differenz nach n*5 Minuten bekannt und (38°-T(5nn)*1,1=38°-T(5(n+1))

Gruß lul

Temperaturzunahme eines Getränks mit (n+1)*5 beschreiben

2 Antworten

Ähnliche Fragen

Eingabetools:

Beliebte Fragen:

Heiße Lounge-Fragen:

\(n\)	\(\Delta T_{n-1,n}\)	\(T_n\)	\(T-T_n\)
0	unbekannt	6°C	32°C
1	5°C	11°C	27°C
2	4.22°C	15.22°C	22.78°C
3	3.56°C	18.78°C	19.22°C