Aloha :)
zu 1) Der Ausdruck \(\frac{T(10)-T(0)}{10}\) ist der mittlere Anstieg der Temperatur pro Stunde, vom Aufzeichnungsbeginn \(t=0\) bis zur maximelen Temperautir bei \(t=10\).
zu 2) Der größte Anstieg der Temperatur findet dort statt, wo die Funktion \(T(t)\) am steilsten ansteigt. Das ist bei \(t_1=5\) der Fall. an dieser Stelle geht die Kurve von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung über.
zu 3) Jetzt geht es um einen anderen Temperaturverlauf als der in der Abbildng. Von diesem neuen Verlauf kennen wir die Funktion$$T(t)=-2t^3+3t^2+16t-1$$Kandidaten für die Extremwerte der Temperatur liegen bei den Nullstellen der ersten Ableitung:$$0\stackrel!=T'(t)=-6t^2+6t+16=-6\left(t^2-t-\frac{16}{6}\right)=-6\left(t^2-t-\frac{8}{3}\right)$$Mit Hilfe der pq-Fomrel finden wir:$$t_{1;2}=\frac12\pm\sqrt{\frac14+\frac83}=\frac12\pm\sqrt{\frac{35}{12}}$$Da die Aufzeichnungszeit ab \(t=0\) gemessen wird, macht nur die positive Lösung Sinn, sodass ein Extremwert-Kandidat verbleibt:$$t=\frac12+\frac12\sqrt{\frac{35}{3}}\approx2,2078$$Wir prüfen noch nach, ob es sich bei diesem Kandidaten tatsächlich um ein Maximum handelt, indem wir die zweite Ableitung an dieser Stelle prüfen:$$T''(t)=-12t+6\implies T''(2,2078)\approx-20,4936<0\implies\text{Maximum}$$Die Höhe der maximalen Temperatur ist:$$T(2,2078)\approx27,42^\circ\mathrm{C}$$
~plot~ -2x^3+3x^2+16x-1 ; {2,2078|27,42} ; [[0|4|0|30]] ~plot~
