Aufgabe zu Folgen lim n^(1/n)

Question

Aufgabe:

Zeige, dass \( \lim\limits_{n\to\infty} \)n^(1/n) = 1

Tipp: Modifiziere den Beweis der Aufgabe 1(i), Blatt 4. Statt der Bernoullischen Ungleichung, wende eine Abschätzung durch einen weiteren Term aus dem Binomischen Satz an.

Aufgabe 1 vom letzten mal:

https://www.mathelounge.de/970226/aufgabe-zu-folgen-limes-a-1-n-1

Kann mich mal wieder jemand retten? Die Abgabe naht.. :(

Comments

Beweis der Aufgabe 1(i), Blatt 4.  ???

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Oh dachte das wäre nicht so essenziell. Kann aber gerne den Link zu der Aufgabe hier beifügen:

https://www.mathelounge.de/970226/aufgabe-zu-folgen-limes-a-1-n-1

Answer 1

Aloha :)

Der Tipp ist schon fast gut. Gemäß des binomischen Lehrsatzes gilt:$$\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^k$$Für \(n\ge2\) können wir aus der Summe die Summanden mit \(k=0\) und \(k=2\) auswählen:$$\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n\ge\binom{n}{0}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^0+\binom{n}{2}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^2=1+\frac{\cancel n\cdot(n-1)}{\cancel 2}\cdot\frac{\cancel 2}{\cancel n}=n$$Auf beiden Seiten die \(n\)-te Wurzel gezogen liefert:$$1+\sqrt{\frac{2}{n}}\ge\sqrt[n]{n}$$Wegen \(n\ge1\) ist auch \(\sqrt[n]{n}\ge1\), sodass im Grenzwert gilt:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\sqrt{\frac2n}\right)\ge\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt[n]{n}\right)\ge1\implies 1\ge\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt[n]{n}\right)\ge1\implies\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt[n]{n}\right)=1$$

Comments

Hiiiii,

zuallererst vielen dank. Deine Rechnung hab ich super verstanden.

Nur hab ich noch eine kleine Frage. Ich versuch nämlich darauf zu kommen wie du auf diesen \(\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n\) Term zu Abschätzung gekommen bist.

Also ich weiß das n^(1/n) = \(\sqrt[n]{n}\)   Aber...

Hast du dir zwingend einen Term gesucht welcher größer als \(\sqrt[n]{n}\) ist?

Oder anders gefragt nach welchem Kriterium hast du \(\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n\) gewählt?

Ich glaube nämlich das du wusstest das \(\sqrt[n]{n}\) eine Teilfolge davon ist. Ist es das? (Hoffe Teilfolge ist der Richtige Begriff dafür)



Vielen Dank für die super nette Hilfe. <3