Aufgabe:
Gegeben seien die Polynomfunktionen \( \quad o: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}: z \mapsto z^{2}+(1+\mathrm{i}) z+\frac{\mathrm{i}}{4} \)
(a) \( \mathcal{N}_{o}:=\{z \in \mathbb{C} \mid o(z)=0\} \)
ABC-Formel:
a= 1 , b=(1+i), c=i/4
--> \( \frac{-(1+i)±√(1+i)^2-4*1*i/4}{2*1} \)
=\( \frac{-1-i±√2i-i}{2} \)
=\( \frac{-1+i±√i}{2} \)
z1= \( \frac{-1+i+√i}{2} \) z2=\( \frac{-1+i-√i}{2} \)
b)\( p: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}: z \mapsto z^{4}+5 z^{2}+4 \)
\( \mathcal{N}_{p}:=\{z \in \mathbb{C} \mid p(z)=0\} \)
Substitution z^2=u
--> u^2+5+4=0
=u^2+9=0 → u=3
Rücksubstitution:
z^2=u → z=±√u
z1= +√3 , z2=-√3, z3=+√-3 / +√3*i z4= -√3*i
c)\( q_{\delta}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}: z \mapsto z^{2}+2 \mathrm{i} \cos (\delta) \cdot z-1 \)
\( \mathcal{N}_{q}^{\delta}:=\left\{z \in \mathbb{C} \mid q_{\delta}(z)=0\right\} \). Für welche \( \delta \in \mathbb{R} \) gilt \( \mathcal{N}_{q}^{\delta} \varsubsetneqq \mathbb{R} \) ?
nach Probieren:
delta=∏*k → also Cos= ±1
--> Ergebnis ±i
delta= 1, \( \frac{∏}{2} \)*k → cos =0
--> Ergebnis = ±1
Antwort bei delta=∏*k ist die Nullstelle keine reelle Zahl sondern eine komplexe
