Konvergenz einer Reihe führt zu Konvergenz der Wurzel der Reihe?

Question

Aufgabe:

Beweise oder widerlege die folgende Aussage: Sind alle ak nichtnegativ und konvergiert die Reihe

$$\sum \limits_{k=0}^{n}\ a_{k}$$ n∈ℕ

so konvergiert auch die Reihe

$$\sum \limits_{k=0}^{n}\ \sqrt{a_{k} + a_{k + 1}}$$ n∈ℕ

Problem/Ansatz:

Ich komm leider nicht weiter. Meine idee ist, dass eine wurzel einer zahl b<0 gilt \( \sqrt{b} \) > b. deswegen Würde die zweite folge also divergieren. Macht das so Sinn oder Habe ich einen denkfehler.

Freue mich über Jede Hilfe :D

Comments

Macht das so Sinn

Antwort : "ja".
Du meinst sicher b < 1  und solltest jetzt ein konkretes Beispiel für (a_n) angeben.

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Danke für die Antwort

Ja meinte b  < 1 . Bin selber noch nicht so sicher im Thema und wollte mich nochmal hier korrigieren lassen falls ich auf dem falschen Weg bin.

Answer 1

Bekanntlich konvergiert die Reihe  \(\sum \limits_{k=0}^{n}\ \frac{1}{k^2}\)

\( \sqrt{a_{k} + a_{k + 1}} = \sqrt{ \frac{1}{k^2}+ \frac{1}{(k+1)^2}}  = \sqrt{\frac{(k+1)^2+k^2}{k^2(k+1)^2}} =  \sqrt{ \frac{1}{k^2(k+1)^2} \cdot (2k^2 + 2k + 1 )} =  \sqrt{ \frac{k^2}{k^2(k+1)^2} \cdot (2 + \frac{2}{k} + \frac{1}{k^2} )} \)

\(=   \frac{1}{k+1}  \cdot \sqrt{2 + \frac{2}{k} + \frac{1}{k^2}}  \gt    \frac{1}{k+1}  \)

Also ist für die 2. Reihe die harmonische Reihe eine

divergente Minorante.

Comments

Wenn schon, dann bitte richtig.

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Mein "Wenn schon" bedeutet ja "Wozu ?" und kann einerseits bedeuten, dass der Fragesteller vermutlich selbst drauf gekommen wäre und kann andererseits die Frage nach dem Sinn deiner Umformerei beinhalten, wo doch ganz offensichtlich √(a_k + a_k+1) > √a_k ist.