\(\forall i \in \mathbb{N}_{0}:\left[10^{i}\right]_{\bmod 11}=\left[(-1)^{i}\right]_{\bmod 11} \)
Bei Aussagen mit \(\forall i \in \mathbb{N}_{0} .... \) geht es ja oft mit vollst. Induktion:
Für i=0 ist zu zeigen \( \left[10^{0}\right]_{\bmod 11}=\left[(-1)^{0}\right]_{\bmod 11} \)
<=> \( \left[1\right]_{\bmod 11}=\left[1\right]_{\bmod 11} \) Passt also.
Sei i∈ℕo mit \( \left[10^{i}\right]_{\bmod 11}=\left[(-1)^{i}\right]_{\bmod 11} \) #
==> \( \left[10^{i+1}\right]_{\bmod 11}= \left[10^{i}\right]_{\bmod 11} \cdot \left[10^{1}\right]_{\bmod 11} \) wegen # also
\( = \left[(-1)^{i}\right]_{\bmod 11} \cdot \left[10^{1}\right]_{\bmod 11} \)
Wegen 10 - (-1) = 11 ≡ 0 mod 11 gilt 10≡ -1 mod 11, also
\( = \left[(-1)^{i}\right]_{\bmod 11} \cdot \left[(-1)^{1}\right]_{\bmod 11} = \left[(-1)^{i+1}\right]_{\bmod 11} \) q.e.d.
