Primzahlen und modulo: Brauche Hilfe beim Beweisen.

Question

Ich habe die folgende Aufgabe:

Sei p ≥ 3 eine Primzahl. Beweise, dass für jede Zahl a aus Z^∗_p gilt: x² ≡ a (mod p) besitzt genau dann eine Lösung x, wenn
a^{\( \frac{(p-1)}{2} \)} ≡ 1 (mod p).

Idee/ Frage:

Ich wollte das, was nach dem "wenn" steht, mit dem kleinem Fermat beweisen.

Ist das richtig ? Oder wie kann ich die Aufgabe beweisen ?

Comments

Kann mir keiner helfen ? :(

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Du hast doch einen Vorschlag gemacht. Mach es so !

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Das hab ich schon getan, aber etwas fehlt mir noch... Und zwar steht in der Aufgabe, dass es für jedes a aus Z*p gilt, das heißt ich muss eine vollständige Induktion machen, wobei das mir jetzt schwer fällt.

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Hallo

 dann zeig mal deinen Beweis, wieso Induktion a<p ?  für welches a hast du es denn gezeigt?

Gruß lul

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Ich hab das mir jetzt so vorgestellt :

Ich zeige zuerst wie man a^(p-1) = 1 mod p schreiben kann, nämlich als p | (a^(p-1) -1). So kann ich wiederum für die a^(p-1)-1 die 3. Binomische Formel anwenden, also = (a^{\( \frac{(p-1)}{2} \)} -1)(a^{\( \frac{(p-1)}{2} \)} +1). Also p | (a^{\( \frac{(p-1)}{2} \)} -1) oder p | (a^{\( \frac{(p-1)}{2} \)} +1). Jedoch lasse ich es mit p | (a^{\( \frac{(p-1)}{2} \)} +1), weil wir ja a^{\( \frac{(p-1)}{2} \)} = 1 mod p betrachten also in dem Falle p | (a^{\( \frac{(p-1)}{2} \)} -1).

So und dies wollte ich für alle Zahlen aus Z^*_p beweisen also a+1 und das mit vollständige Induktion, dabei habe ich alles analog gemacht, nur hab ich für a -> (a+1) geschrieben...

Ist das vielleicht richtig ? Oder hat das schon mit dem Fermat ausgereicht ?