Sei R ein HIR, J ein maximales Ideal und a,b∈R teilerfremd in R. Falls a ∈ J ist, dann liegt b nicht in J.

Question

Seien R ein Hauptidealring, J ein maximales Ideal von R und a, b ∈ R teilerfremd in R. Zeigen Sie:
Falls a ∈ J ist, dann liegt b nicht in J.

Comments

Was wisst ihr über Teilerfremdheit in Hauptidealringen?

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Wir nennen a_1, ..., a_n teilerfremd in R genau dann, wenn jeder ggT von a₁, ..., a_n in R eine Einheit ist.

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Kennt ihr das Lemma von Bezout ?

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Nein, der wurde in der VL nicht behandelt.

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Auch keine Idee?

Answer 1

Angemommen, es wären \(a,b\in J\).

Da \(R\) Hauptidealring ist, ist \(J=(d)\) mit einem \(d\in R\).

Daher gibt es \(r,s\in R\) so dass

\(a=rd\) ist und \(b=sd\) ist. Also ist \(d\) ein gemeinsamer

Teiler von \(a\) und \(b\), folglich eine Einheit, da \(a\) und \(b\)

teilerfremd sind. Das bedeutet aber \(J=(d)=(1)=R\) und \(J\)

ist kein maximales Ideal, Widerspruch.