Bestimmen Sie rechnerisch den Abstand von Q(0|0) zum Graphen von f mit f(x) = 1/(x ^ 2)

Question

Aufgabe:

1 Den Abstand eines Punktes P zum Graphen einer Funktion f kann man mithilfe der Normalen von außen durch P an G_{f} und der zugehörigen Schnittpunkte bestimmen. Der Abstand von P zu G_{f} entspricht dann dem kleinsten Abstand von P zu einem der Schnittpunkte.

Bestimmen Sie rechnerisch den Abstand von Q(0|0) zum Graphen von f mit f(x) = 1/(x ^ 2)


Problem/Ansatz:

Allgemeine Normalenformel:

n: y=-1/f‘(u)*(x-u)+f(u)

Die Bestandteile:

x=0 , y=0, f‘(u)=2/(x^3), f(u)=1/(x^2)

Einsetzen:

n: 0=2/(x^3)*(0-u)+1/(x^2)

Nach u Auflösen:

u1= - sechste Wurzel von zwei

u2= sechste Wurzel von zwei

Stimmt meine Vergehensweise?

Müsste man jetzt noch den Abstand Zeichen einer dieser Stellen und den Punkt P ausrechnen?

Vielen Dank♥️

Answer 1

Minimaler Abstand der Punkte (0 | 0) und (x | 1/x^2).

d² = (x - 0)^2 + (1/x^2 - 0)^2 = x^2 + 1/x^4 = x^2 + x^{-4}

d²' = 2x - 4x^{-5} = 2x - 4/x^5 = 0 --> x = ± 2^(1/6)

d² = (2^(1/6) - 0)^2 + (2^(2/3)/2)^2 = 3/2·2^(1/3)

d = √3·2^(2/3)/2 = 1.374729636

Abstand über die Normale

(f(x) - 0) / (x - 0) = -1/f'(x)

(1/x^2 - 0) / (x - 0) = -1/(-2/x^3) --> x = ± 2^(1/6)

(x | 1/x^2) = ((2^(1/6)) | 1/(2^(1/6))^2) = (2^(1/6) | 2^(2/3)/2)

Abstand

d² = (2^(1/6) - 0)^2 + (2^(2/3)/2)^2 = 3/2·2^(1/3)

d = √3·2^(2/3)/2 = 1.374729636

Comments

d² = (2^(1/6) - 0)2 + (2^(2/3)/2)2 = 3/2·2^(1/3)
d = 3/2·2^(1/3) = 1.374729636

Wieso ergibt d² den gleichen Term wie d?

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Super, hab das gleiche rausbekommen!

Vielen Dank ♥️♥️

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Wieso ergibt d² den gleichen Term wie d?

War ein Versehen von mir. Ich hatte zwar still und heimlich ums auszurechnen, die Wurzel gezogen, aber die Wurzel beim Notieren vergessen. Ist aber nicht so wild. Wer es nachgerechnet hat, hat das sicher wie du festgestellt und bemerkt, dass da wohl nur die Wurzel gefehlt hat.

Ich habe es jetzt aber korrigiert, sodass der Term mit der genäherten Lösung übereinstimmt.