Bestimmen Sie die globale Lösung von (P) .

Question

Aufgabe:

Gegeben Sei das nichtlineare Optimierungsproblem $(P)$ :
$\begin{aligned} \min & x+y \\ \text { s.t. } & x^{2}-2 x+1+y^{2} \leq 1 \\ &(x+1)^{2}-1 \leq-y^{2} \end{aligned}$
(a) Bestimmen Sie die globale Lösung von $(P)$.

Problem/Ansatz:

habe raus das es keine KKT Punkte hat aber wie komme ich jetzt auf die globale Lösung?

Answer 1

$f(x,y)=x+y$ soll minimal werden.

$x^2-2x+1+y^2≤1$

$P(u)$ liegt auf $y= \sqrt{-x^2+2x}$   →$v= \sqrt{-u^2+2u}$

$f(u)=u+ \sqrt{-u^2+2u}$

$f´(u)=1- \frac{2-2u}{2*\sqrt{-u^2+2u}}\\ =1- \frac{1-u}{\sqrt{2u-u^2}}$

$1- \frac{1-u}{\sqrt{2u-u^2}} =0$

$\sqrt{2u-u^2} =1-u |^{2}$

$2u-u^2 =1-2u+u^2$

$4u-2u^2 =1$

$u^2-2u =-\frac{1}{2}$

$(u-1)^2 =-\frac{1}{2}+1 =\frac{1}{2} |\sqrt{~~}$

1.)

$u-1 =\frac{1}{2} *\sqrt{2}$

$u_1 =1+\frac{1}{2} *\sqrt{2}$ →$v_1= \sqrt{-(1+\frac{1}{2} *\sqrt{2})^2+2*(1+\frac{1}{2} *\sqrt{2}})=\frac{1}{2}*\sqrt{2}$→maximaler Wert

2.)

$u-1 =-\frac{1}{2} *\sqrt{2}$

$u_2 =1-\frac{1}{2} *\sqrt{2}$  →$v_2= \sqrt{-(1-\frac{1}{2} *\sqrt{2})^2+2*(1-\frac{1}{2} *\sqrt{2}}) =\frac{1}{2}*\sqrt{2}$ minimaler Wert