Wurzelkriterium und Quotientenkriterium

Question

Aufgabe:

Es handelt sich um die folgende Aufgabenstellung:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^{k}+1} \)

Abschätzung: \( \frac{k}{2^{k}} \)

Wurzelkriterium:
\( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\frac{k}{2^{k}+1}} \leqslant \sqrt[k]{\frac{k}{2^{k}}}=\frac{1}{2}<1 \Rightarrow \text { konvergiert } \)

Quotientenkriterium:
\(\displaystyle \frac{\frac{k+1}{2^{k+1}+1}}{\frac{k}{k^{k}+1}}=\frac{k+1}{2^{k+1}+1} \cdot \frac{2^{k}+1}{k} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe hier sowohl mit dem Wurzel- als auch mit dem Quotientenkriterium gerechnet als Übung. Aber irgendwie komme ich beim Quotientenkriterium nicht weiter. Stimmen die ganzen Berechnungen überhaupt? Könnte jemand einen Blick werfen und mir eine Rückmeldung geben, ob der Ansatz so passt?

Answer 1

Würde ich eher so schreiben:

\( \sqrt[k]{\frac{k}{2^{k}+1}} \leq \sqrt[k]{\frac{k}{2^{k}}}=\frac{\sqrt[k]{k}}{2}<1\) weil \(  \sqrt[k]{k}<2\) für alle k∈ℕ.

Oder am Ende \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[k]{k}}{2}=\frac{1}{2}<1\)

Quot:

\(\displaystyle \frac{\frac{k+1}{2^{k+1}+1}}{\frac{k}{2^{k}+1}}=\frac{k+1}{2^{k+1}+1} \cdot \frac{2^{k}+1}{k} =\frac{k+1}{2\cdot 2^{k}+1} \cdot \frac{2^{k}+1}{k} \)

\( =\frac{k+1}{k} \cdot \frac{2^{k}+1}{2\cdot 2^{k}+1}  =\frac{k+1}{k} \cdot \frac{1+\frac{1}{2^{k}}}{2+\frac{1}{2^{k}}} \)

und \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \frac{k+1}{k} \cdot \frac{1+\frac{1}{2^{k}}}{2+\frac{1}{2^{k}}}  =1 \cdot \frac{1}{2}<1\)

Comments

Super, vielen vielen Dank Mathhilf!

Kann ich fragen, warum \( \frac{k+1}{k} \)=1 ?. Wir haben ja \( \frac{k}{k} \) * \( \frac{1}{k} \) = 1 * \( \frac{1}{k} \).

Das habe ich noch nicht verstanden.

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Es ist \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \frac{k+1}{k} =1\)

Kann man erkennen an

\(  \frac{k+1}{k} =  \frac{1+\frac{1}{k}}{1}  \)

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Achso, wegen k* (1 + 1/k) / k. Und 1/k strebt gegen 0, die beiden k kürzen sich weg und übrig bleibt 1.

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Super, vielen vielen Dank Mathhilf!

Du musst in vielen Dingen noch genauer werden: Mathhilf \(\neq\) Mathef

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Ja, habe im Nachhinein bemerkt, dass Mathef der richtige Name ist, sorry.

Also stimmt die Überlegung mit k* (1 + 1/k) / k ?

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Eigentlich braucht man ja nur 1/k geht gegen 0.

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Eigentlich ja. Wollte nur sicher gehen. Vielen Dank mathef für die Hilfe!