Hall,
Willkommen in der Mathelounge!
Kennst Du den Beweis per Vollständiger Induktion?
Dazu zeigst Du zunächst, dass die Annahme $$a_n = a_0 + cn \quad n \in \mathbb{N}$$für ein kleines \(n=1\) korrekt ist$$\begin{aligned}a_{n+1} −a_{n} &= c &&|\,\text{gegeben}\\ \implies a_1 - a_0 &= c \\a_1 &= a_ 0 + c \\ a_1 &= a_0 + c\cdot 1 &&\checkmark\end{aligned}$$Dies ist der Fall für \(n=1\). Darauf aufbauend zeigt man es dann für das folgende \(n+1\) (im Induktionsschritt)$$\begin{aligned} a_{n+1} &= a_n + c \\ &= a_0 + cn + c &&|\,\text{lt. Voraussetzung (s.o.)}\\&=a_n + c(n+1)\\ &\text{q.e.d.}\end{aligned}$$Und damit ist man schon fertig. Denn wenn \(a_n=a_0 +cn\) gilt, so muss auch \(a_{n+1} = a_0 + c(n+1)\) gelten. D.h. wenn es für \(a_1\) richtig ist, gilt es auch für \(a_2\) und wenn es für \(a_2\) ok ist, so ist es auch für \(a_3\) richtig - usw. Und damit für alle \(n \in\mathbb{N}\).
Gruß Werner
