arithmetische Folge - was ist n?

Question

Aufgabe:

Ich habe eine frage zur arithmetischen Folge , da ich nicht weiß was ich für n einsetzten soll.

Über hilfe würde ich mich sehr freuen :)

Die arithmetische Folge

Im Amphitheater in Epidaurus befinden sich in der
ersten Reihe 40, zweiten Reihe 52, dritten Reihe 64
Plätze. Die Folge setzt sich so weiter fort. Es fällt auf, dass
die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant = 12 ist.

Wie viele Sitzplätze befinden sich jetzt von der 1. bis zur 30. Reihe ?

Formel die hierfür verwendet werden muss ist: Sn= 1/2*n (2*a1+an)*d)

Problem/Ansatz:

Wie viele Sitzplätze befinden sich jetzt von der 1. bis zur 30. Reihe ?

Formel die hierfür verwendet werden muss ist: Sn= 1/2*n (2*a1+an)*d)

gegeben wurde auch Sn= 1/2n*(a1+an) ist also 1275

wie er darauf kommt verstehe ich auch nicht..
Ich weiss aber nicht was an ist und was ich hierfür in die Formel einsetzten muss. Ich weiß, dass wir das wir a30 suchen aber kann die Formel nicht vervollständigen.
Mein Ansatz wäre jetzt: S30= 1/2* 30 ( 2*40+an)*12)

Answer 1

Wie viele Sitzplätze befinden sich in der 30. Reihe ?

a₁ = 40     a₂=52   ....

allgemein:  a_n = a1+(n-1)*d

Das ist eine arithm. Folge. Eine Reihe

wäre es, wenn du die Summe der Folgenglieder bildest.

Deine Formel ist für die Summe aller Sitzplätze

bis zur 30. Reihe . Nur für die 30. Reihe

hast du a₃₀ = a₁ + 29*d = 40 + 29*12 = 388

Comments

Danke ich habe falsch formuliert ich suche auch die Summe aller Sitzplätze

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Na dann war die Formel ja richtig und es ist n=30

und a_n=388  und a₁= 40. Also ist die Summe

nach der Formel Sn= 1/2n*(a1+an)

S30= 1/2* 30 ( 40+388) = 15*428=6420.

Die andere Formel stimmt nicht, richtig wäre

S_n = (n/2)*( 2a₁ + (n-1)*d )

   = 15 * (  80 + 29*12)

   = 15 * 428

Answer 2

Hallo Nadia,

Ich weiss aber nicht was an ist

\(a_n\) ist die hier die Anzahl der Sitzplätze in der n'ten Reihe. Da \(a_1= 40\)  und die Differenz zur nächsten Reihe immer \(d=12\) beträgt, ist $$a_n = a_1 + (n-1)d = 40 + 12(n-1)$$

Formel die hierfür verwendet werden muss ist: Sn= 1/2*n (2*a1+an)*d)

So, wie Du es geschrieben hast, ist die Formel falsch. Wäre sie richtig, so muss sie auch für \(n=1\)  korrekt sein. Damit wäre aber $$S_{n=1} = \frac 12 n (2a_1 + a_n) d = \frac 12 \cdot 3a_1 \cdot d \ne a_1$$da müsste aber \(a_1\) heraus kommen, das tut es aber nicht.

gegeben wurde auch Sn= 1/2n*(a1+an) ist also 1275
wie er darauf kommt verstehe ich auch nicht..

1275 ist sicher viel zu wenig, bei 30 Reihen a 40 Plätze sind es doch schon 1200. \(S_n\) ist die Summe aller Sitzplätze bis zur n'ten Reihe - also $$\begin{aligned} S_n &= \sum_{i=1}^n a_n \\&= \sum_{i=1}^n (a_1 + (n-1)d) \\ &= na_1 + d \sum_{i=1}^n (n-1) \\ &= na_1 + d \frac n2(n-1) \\ &= n\left( a_1 +  \frac d2(n-1)\right)\end{aligned}$$Wenn man nun die Differenz \(d\) durch \(a_1\) und \(a_n\) ausdrückt und das in die Formel für \(S_n\) einsetzt, dann kommt man zu$$a_n = a_1 + (n-1)d \quad \text{s.o.} \\ \implies d = \frac{a_n-a_1}{n-1} \\ S_n = n\left( a_1 +  \frac 12(a_n-a_1)\right) = \frac n2(a_1 + a_n)$$das ist also richtig. Und \(S_n\) ist in Deinem Fall$$a_n = a_1 + (n-1) d = 40 + 29\cdot 12 = 388 \\ S_{30} = \frac{30}2(40 + 388) = 6420$$

Answer 3

 $$\sum\limits_{i=1}^{n}{28+12i}$$$$=28n+12 * n*(n+1)/2$$

$$\sum\limits_{i=1}^{30}{28+12i}$$$$=28*30+12 * 30*(30+1)/2$$$$=6420 Plätze .insgesamt$$

$$a_{30}= 28+12*30=388 Plätze$$

$$S_n= 1/2*n (a1+an)$$

$$S_{30}= 1/2*30 (40+388)=6420$$