Extremwert: den Wert der positiven Zahlen a und b, sodass...? Wie lange die anderen Kanten?

Question

Aufgabe:

a) Suchen Sie den Wert der positiven Zahlen a und b , sodass (a / b²) = 4 und dabei soll die Summe (a + b³) möglichst gross werden.

b) Ein Quader mit einer Kante a = 5 [cm] und der Kantensumme (Summe aller Kanten) = 100 [cm] soll ein maximales Volumen haben. Wie lange müssen dazu die anderen Kanten sein?

Problem/Ansatz:

Extremwertprobleme

Answer 1

Aufgabe a)

a = 4b²

Es gibt kein Maximum für 4b² + b³

Aufgabe b)

b = c = 47,5 cm (wenn mit "Kantensumme" die Summe der drei Kanten gemeint ist)

b = c = 10 cm (wenn mit "Kantensumme" die Summe aller zwölf Kanten gemeint ist)

Comments

Durchaus interessant wie man bei "die Summe aller Kanten" auf die Idee kommt einfach nur 3 Kanten zu nehmen.

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Da steht "Kantensumme" vor dem "Summe aller Kanten".

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"Summe aller Kanten" steht als Erklärung in Klammern, damit nicht so schlaue Schüler wissen, was mit Kantensumme gemeint ist.

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Da scheine ich ja zur Zielgruppe zu gehören.

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Vielleicht wäre es vom Lehrer schlauer gewesen, er hätte geschrieben aller 12 Kanten.

Answer 2

a) Suchen Sie den Wert der positiven Zahlen a und b, sodass (a / b^2) = 4 und dabei soll die Summe (a + b^3) möglichst groß werden.

Ist die Fragestellung so richtig? Für b --> ∞ wird die Summe am größten.

b) Ein Quader mit einer Kante a = 5 [cm] und der Kantensumme (Summe aller Kanten) = 100 [cm] soll ein maximales Volumen haben. Wie lange müssen dazu die anderen Kanten sein?

NB:

4·5 + 4·b + 4·c = 100 --> c = 20 - b

HB:

y = 5·b·c
y = 5·b·(20 - b)
y = 100·b - 5·b^2 → Die nach unten geöffnete Parabel hat garantiert ein Maximum.

y' = 100 - 10·b = 0 → b = 10 cm

c = 20 - 10 = 10 cm

Comments

Schönen Dank. (b) macht Sinn. Sollte richtig als Resultat sein.

Aber für unter (a) bekomme ich immer ein negativen b-Wert.

Für (a): x = 4 ; b = -1 / oder b = - 8/3 ...

Freundliche Grüsse

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Der negative Wert ist richtig. Ist aber nur ein lokales Maximum. Skizziere die Zielfunktion in Abhängigkeit von b

Im positiven Bereich ist die Funktion aber nicht nach oben Beschränkt. Daher gibt es kein Maximum.

~plot~ 4x^2+x^3;[[-8|8|-12|12]] ~plot~