Extremwert mit Nebendbedingung nach Lagrange

Question

Bei den Preisen p_A ,p_B zweier Güter lauten die Nachfragefunktionen (nach Gut A) x=120-5p_A ,(nach Gut B) y=80-4p_B , Die Herstellungskosten seien K(x,y)=x² +y² . Bei welchen Preisen wird der Reingewinn maximal? Berechnen Sie den Reingewinn.

Ich hatte bei Lagrange bisher immer eine Nebenbedingung mit x und y = Konstante, aber nun sind das noch pA und pB. Wie kann ich eine Nebendedingung bekommen mit dem alten Muster, Kann jemand mir einen Tipp geben oder einen Ansatz?

lg Rike

Answer 1

Infos findest du hier:

http://www2.htw-dresden.de/~neumannk/Lokale_Extr_mehrere_Var.pdf

Das Indizieren nervt, deshalb setze ich p_A = p  und   p_B = q

Ich kann hier keine Nebenbedingung für den Reingewinn G(p,q) erkennen. G(p,q) ergibt sich aus

G(p,q) = E(p,q) - K(p,q)   ( E = Erlös)

G(p,q) =  p · (120 - 5p) + q · (80 - 4q) - (120 - 5p)² - (80 - 4q)² 

G(p,q) = - 30·p² + 1320·p - 20·q² + 720·q - 20800

partielle Ableitungen gleich 0 setzen: 

G_p = 60·(22 - p) = 0  und  G_q = 40·(18 - q) = 0    →   (p|q)  = (22|18)

zweite partielle Ableitungen: G_pp = - 60 , G_pq = - 40 ,  G_pq = 0

G_pp · G_qq - G_pq² = 2400 > 0  → es liegt hier ein Extremum vor.

G_pp < 0 → es handelt sich um ein Maximum

G(22|18) = 200 ist der maximale Gewinn.

wolframalpha liefert den Graph für G(p,q), wenn du 

 - 30·p² + 1320·p - 20·q² + 720·q - 20800

kopierst und dort eingibst:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=a*x%3Db

Gruß Wolfgang