Extremwert, Lagrangetechnik f(x,y)=x^3-27 x-(x-y)^2

Question

Aufgabe Extremwerte, Lagrangetechnik:

Beim Polynom

$$ f(x, y)=x^{3}-27 * x-(x-y)^{2} $$

suche man Kandidaten für lokale Extrema mittels des Gradienten. Über Maximum/Minimum entwcheide man mittels der Hessematrix.

Answer 1

Hi Derso,

stelle den Gradienten auf

f_x = 3x²-27-2(x-y)

f_y = 2(x-y)

(Vorsicht, das negative Vorzeichen und das Vorzeichen der inneren Ableitung heben sich gegenseitig auf)

Das nun 0 setzen und lösen:

x₁ = -3 und y₁ = -3

x₂ = 3 und y₂ = 3

Nun Hessematrix aufstellen. Bedeutet zuerst die zweite Ableitungen zu bilden:

f_xx = 6x-2

f_yy = -1

f_xy = f_yx = 0

Die Matrix hat also die Gestalt:

$$\begin{pmatrix} 6x-2 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$$

Die Werte einsetzen (in die Determinante):

für P(-3|-3) ist die Determinante positiv. Außerdem f_xx< 0 ---> Maximum

für Q(3|3) ist die Determinante negativ -> kein Extremum (Sattelpunkt)

 

Grüße

Comments

eine Frage, wenn sie das gegen 0 setzen

also meinen sie doch für x=0

3(0)²-27-2(0-y)=0

-27+2y = 0

2y = 27

y =27/2

ich komme nicht auf die idee wie sie auf 3 und -3 kommen

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Du hast ein Gleichungssystem:

f_x = 0

f_y = 0

da muss gelöst werden ;).

(f_x und f_y stehen oben. Löse erst f_y nach einer Variable auf und setze sie in die erste Gleichung ;))