Aloha :)
$$f''(x)=\frac{-2x^2-2}{(x^2-1)^2}=\frac{(-2x^2\blue{+4x}-2)\blue{-4x}}{(x^2-1)^2}=\frac{-2(x^2-2x+1)-4x}{(x^2-1)^2}$$$$\phantom{f''(x)}=\frac{-2(x-1)^2-4x}{(x^2-1)^2}=\frac{-2(x-1)^2}{(x^2-1)^2}-\frac{4x}{(x^2-1)^2}$$$$\phantom{f''(x)}=\frac{-2(x-1)^2}{[(x-1)(x+1)]^2}-\frac{4x}{(x^2-1)^2}=\frac{-2\blue{(x-1)^2}}{\blue{(x-1)^2}(x+1)^2}-\frac{4x}{(x^2-1)^2}$$$$\phantom{f''(x)}=-2\cdot\frac{\green 1}{(\pink{x+1})^2}-2\cdot\frac{\green{2x}}{(\pink{x^2-1})^2}$$
Jetzt kann man das Integral eigentlich sofort hinschreiben. Ich versuche das mal zu erklären, wie ich das im Kopf mache:
Die grünen Funktionen sind die inneren Ableitungen der pinken Funktionen. Beim Ableiten heißt es "Äußere Ableitung mal innere Ableitung". Wenn wir nun die innere (grüne) Ableitung schon identifiziert haben, brauchen wir uns um sie nicht mehr zu kümmern. Wir können uns beim Integrieren die pinke Funktion als ein großes \(\pink X\) vorstellen, nach dem integriert wird.$$\int\frac{1}{\pink X^2}\,d\pink X=\int \pink X^{-2}\,d\pink X=\frac{\pink X^{-1}}{-1}=-\frac{1}{\pink X}$$Das wendest du nun auf jeden Term an:$$f'(x)=-2\cdot\left(-\frac{1}{\pink X}\right)_{\pink X=x+1}-2\cdot\left(-\frac{1}{\pink X}\right)_{\pink X=x^2-1}=\frac{2}{x+1}+\frac{2}{x^2-1}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{2(x-1)}{x^2-1}+\frac{2}{x^2-1}=\frac{2x}{x^2-1}$$
