Berechnen Sie (1+{i})^{4}(-1+{i})^{15} und stellen Sie das Ergebnis in der Form a+b i mit a, b ∈ ℝ dar.

Question

Berechnen Sie \( (1+\mathrm{i})^{4}(-1+\mathrm{i})^{15} \) und stellen Sie das Ergebnis in der Form \( a+b \) i mit \( a, b \in \mathbb{R} \) dar.

Das Ergebnis überzeugt mich nicht.

\( (1+i)^{4} \) Habe ich mit Potenzgesetzen getrennt → (1+i)^2 (1+i)^2   

Dann Bin.Formel angewendet : 2i*2i = -4

\( (-1+i)^{15} \)

Idee z^15 = \( (-1+i)^{15} \)  --> z= (-1+i)

Allg.gilt:  r^n(cos(φ*n)+isin(φ*n))

r= \( \sqrt{(-1)^2+1^2} \)= \( \sqrt{2} \) → r^15= \( \sqrt[15]{2} \)

φ= \( \frac{3π}{4} \) durch zeichnen , dann +π wegen 2.Quadrant --> \( \frac{7π}{4} \)

oder arctan(\( \frac{1}{-1} \)+π -->\( \frac{7π}{4} \)

φ*15= \( \frac{7π*15}{4} \) = \( \frac{105π}{4} \) = 26* \( \frac{1π}{4} \) 

⇒z^15=  \( \sqrt[15]{2} \)(cos( \( \frac{1π}{4} \) )+isin( \( \frac{1π}{4} \) ))

\( (1+\mathrm{i})^{4}(-1+\mathrm{i})^{15} \)= -4 \( \sqrt[15]{2} \)(cos( \( \frac{1π}{4} \) )+isin( \( \frac{1π}{4} \) ))=-4 \( \sqrt[15]{2} \)(\( \frac{1}{√2} \) +i \( \frac{1}{√2} \) )

Ausmultipliziert: \( \frac{-4}{\sqrt[30]{2^13}} \) + i \( \frac{-4}{\sqrt[30]{2^13}} \)

Ist das so richtig berechnet und wie soll ich es in kartesischer Form schreiben. Es steht ja schon in kartesischer?

Answer 1

Aloha :)

Dein Ansatz war doch super, wieso hast du ihn nicht durchgezogen?

$$(1+i)^4=1+4i+6i^2+4i^3+i^4=1+4i-6-4i+1=-4$$$$(-1+i)^4=(i^2+i)^4=(i\cdot(i+1))^4=i^4\cdot(i+1)^4=1\cdot(-4)=-4$$

Damit bist du fertig:$$(1+i)^4(-1+i)^{15}=\frac{(1+i)^4(-1+i)^{16}}{-1+i}=\frac{(1+i)^4\left((-1+i)^{4}\right)^4}{-1+i}=\frac{(-4)\cdot(-4)^4}{i-1}$$$$\phantom{(1+i)^4(-1+i)^{15}}=\frac{-1024}{i-1}=\frac{-1024\cdot(i+1)}{(i-1)(i+1)}=\frac{-1024(i+1)}{i^2-1}=\frac{-1024(i+1)}{-2}$$$$\phantom{(1+i)^4(-1+i)^{15}}=512(1+i)$$

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top, danke, dass du den Ansatz nochmal aufgegriffen hast:)Es hat gehackt an der ^15 . Bin nicht drauf gekommen einfach zu erweitern auf ^16 und wie ...

Answer 2

Verwende eine Rechner zur Hilfe und Selbstkontrolle

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Ich hätte die ganze Rechnung über die Exponentialform gemacht

1 + i = √2·e^{i·1/4*pi}

-1 + i = √2·e^{i·3/4*pi}

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Ich hab das jetzt probiert, wie vorgeschlagen.

Auf die obige Form bin ich soweit gekommen.

dann:

w=1 + i  bzw. √2·e^i·1/4*pi

--> w^4 = \( \sqrt[4]{2} \)e^iπ    NR.:(\( \frac{1*4π}{4} \))

z=-1 + i bzw. √2·e^{i\( \frac{3π}{4} \)} 

--> z^15=  \( \sqrt[15]{2} \)e^{i\( \frac{5π}{4} \)}   NR.: \( \frac{3*15}{4} \)--> \( \frac{45}{4} \)entspricht \( \frac{5π}{4} \)

w^4+z^15= \( \sqrt[4]{2} \)\( \sqrt[15]{2} \)e^{i(π+\( \frac{5π}{4} \))}

\( \sqrt[60]{2(^19)} \)  e^{i*\( \frac{π}{4} \)}

soll heißen: 2^{\( \frac{19}{60} \)} *e^iπ/4

ich finde das ist keine schöne Zahl. und in kartesisch wirds noch komischer

x= 2^\( \frac{19}{60} \) * cos \( \frac{π}{4} \) =  2^\( \frac{19}{60} \) *\( \frac{1}{√2} \)

y= 2^\( \frac{19}{60} \) * sin \( \frac{π}{4} \)=  2^\( \frac{19}{60} \) * \( \frac{1}{√2} \)

--> 2^{\( \frac{-11}{60} \)}+i 2^{\( \frac{-11}{60} \)}

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Ich fände es interessant die Aufgabe auf dem konventionellen bzw. angedachten Weg über Polarkoordinaten lösen zu können, auch wenn die Aufgabe beantwortet ist.

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Du machst ja schon Fehler, indem du hoch 4 und die 4. Wurzel verwechselst.

(1 + i)^4 · (-1 + i)^15

= (√2·e^{i·1/4·pi})^4 · (√2·e^{i·3/4·pi})^15

= √2^4 · e^{i·4/4·pi} · √2^15 · e^{i·45/4·pi}

= √2^19 · e^{i·49/4·pi}

= √2^19 · e^{i·1/4·pi}

= √2^18 · √2·e^{i·1/4·pi}

= 2^9 · (1 + i)

= 512 · (1 + i)

Ich finde, es geht kaum einfacher.

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Ich wertschätzte deine Rückmeldung sehr. Ich hoffe, dass mir damit der Fehler nicht nochmal passiert.