Geometrische Reihe: ∑ 2/3^k. Bitte korrigieren.

Question

∑ 2/3^k

Hallo ist meine Rechnung richtig ? (Aufgabe +Rechnung siehe Bild )

Aufgabe Berechnen sie den Grenzwert der Reihe

 

Answer 1

$$\sum_{k=-2} ^\infty \frac{2}{3^k} = 2\sum_{k=-2}\frac{1}{3^k} =2\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{3^{k-2}}=2\cdot 9 \sum_{k=0}^\infty (\frac{1}{3})^k =18\cdot \frac{1}{1-1/3)= 18 \cdot \frac{3}{2}=27$$. Es kann kein negatives Ergebnis rauskommen, da nur positive Werte aufsummiert werden. Zu deiner Rechnung tu ich mich schwer was zu sagen, da ich in keiner Weise nachvollziehen kann was du machst. Wieso fehlen bei deinen Summationen eigentlich die Summationsindeces oder teilweise die Summanden? Auch sind etliche Gleichheiten definitv falsch.

Comments

Ich glaube, du meintest das so:

$$\sum _{ k=-2 }^{ \infty  } \frac { 2 }{ 3^{ k } } =2\sum _{ k=-2 } \frac { 1 }{ 3^{ k } } =2\sum _{ k=0 }^{ \infty  } \frac { 1 }{ 3^{ k-2 } } =18\sum _{ k=0 }^{ \infty  } (\frac { 1 }{ 3 } )^{ k }=18\frac { 1 }{ 1-\frac { 1 }{ 3 }  } \\ =\quad 18*\frac { 1 }{ \frac { 2 }{ 3 }  } =\quad 18*\frac { 3 }{ 2 } =\quad 27$$

Begründung

1/3^k-2 = 1/3^k * 1/3^-2 = 1/3^k* 3² = 9*1/3^k

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Seid ihr sicher dass nicht doch 21 das Ergebnis ist ?

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Nein 27 ist richtig!

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Schön, dass du das verstanden hast.