Überprüfen Sie die folgenden Relationen auf Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität und geben Sie an, ob es sich um Äquivalenzrelationen handelt:
\( \begin{aligned} N&:=\mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\}, \\ S&:=\left\{\left(\left(x_{1}, x_{2}\right),\left(y_{1}, y_{2}\right)\right) \in N \times N: \exists \lambda \in \mathbb{R} \backslash\{0\}:\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\lambda y_{1}, \lambda y_{2}\right)\right\} \subseteq N \times N . \end{aligned} \)
Skizzieren Sie zudem die Äquivalenzklassen von \( S \) im zweidimensionalen Raum.
\( O:=\mathbb{R} \) und \( f: O \rightarrow \mathbb{R} \) sei beliebig, aber fest,
\( T:=\{(x, y) \in O \times O: f(x)=f(y)\} \subseteq O \times O \)
