Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 80% davon länger als 25 Stunden brennen.

Question

Aufgabe:

Es wird angenommen, dass die Brenndauer Z (in Stunden) einer bestimmten Taschenlampe bei aufgeladenem Akku normalverteilt ist mit µ = 30 und σ = 5. Eine Baumarktfiliale kauft 500 dieser Taschenlampen bei der Herstellfirma. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 80% davon länger als 25 Stunden brennen.

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung, wie das gehen soll. Könnt ihr mir helfen?

Answer 1

Es wird angenommen, dass die Brenndauer Z (in Stunden) einer bestimmten Taschenlampe bei aufgeladenem Akku normalverteilt ist mit µ = 30 und σ = 5.

Berechne damit die Wahrscheinlichkeit \(p\), dass eine zufällig ausgewählte Taschenlampe länger als 25 Stunden brennt.

Eine Baumarktfiliale kauft 500 dieser Taschenlampen bei der Herstellfirma.

Die Anzahl \(X\) der Taschenlampen, die länger als 25 Stunden brennen, ist binomialverteilt mit obigem \(p\) und \(n=500\).

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 80% davon länger als 25 Stunden brennen.

Berechne \(P(X\geq 500\cdot 80\,\%)\).

Answer 2

Aloha :)

Für die Zufallsvariable \(Z\) (Brenndauer Taschenlampe) kennen wir \(\mu=30\) und \(\sigma=5\).

Die Wahrscheinlichkeit \(p\), dass eine Taschenlampe mindestens \(25\) Stunden lang brennt, bestimmen wir mit der Standard-Normalverteilung \(\phi(z)\). Dazu müssen wir normalisieren:$$p(Z\ge25)=1-p(Z<25)=1-\phi\left(\frac{25-\mu}{\sigma}\right)=1-\phi(-1)\approx1-0,158665=0,841345$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass von \(n=500\) Taschenlampen wenigstens \(80\%\), also \(k\ge400\) Taschenlampen länger als \(25\) Stunden lang brennen, beträgt daher:$$P(X\ge400)=\sum\limits_{k=400}^{500}\binom{500}{k}\cdot0,841345^k\cdot(1-0,841345)^{500-k}\approx0,994151\approx99,42\%$$