Hallo,
Kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen? Danke!
Aufgabe:
Es seien \( 1 \leq p<\infty, t \in \mathbb{R} \) sowie
\(O_{t}:=\left(\begin{array}{cc}\cos t & \sin t \\-\sin t & \cos t\end{array}\right) .\)
Für \( f \in L^{p}\left(\mathbb{R}^{2}\right) \) definieren wir \( R(t) f(x):=f\left(O_{-t} x\right) \)
(a) Zeigen Sie, dass \( (R(t))_{t \in \mathbb{R}} \) den Gruppeneigenschaften \( R(0)=I \) und \( R(t+s)= \) \( R(t) R(s) \) genügt.
(b) Beweisen Sie, dass \( (R(t))_{t \in \mathbb{R}} \) stark stetig ist. Betrachten Sie dazu zunächst \( f \in \) \( C_{0}\left(\mathbb{R}^{2}\right) \), und führen Sie den allgemeinen Fall hierauf mit einem Approximationsargument zurück.
(c) Untersuchen Sie, ob \( (R(t))_{t \in \mathbb{R}} \) auf \( L^{\infty}\left(\mathbb{R}^{2}\right) \) bzw. auf \( C_{(0)}\left(\mathbb{R}^{2}\right) \) ebenfalls stark stetig ist.
(d) Es sei \( A \) der infinitesimale Generator von \( (R(t))_{t \in \mathbb{R}} \). Berechnen Sie \( A f \) für \( f \in \) \( C_{0}^{1}\left(\mathbb{R}^{2}\right) \) und zeigen Sie, dass \( \lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t}(R(t) f-f)=A f \) mit Konvergenz in \( L^{p}\left(\mathbb{R}^{2}\right) \) gilt (hierbei \( 1 \leq p<\infty \) ).
