Viererdifferenzenzen / Quadrupel werden zu 0, warum?

Question

Es geht um folgende (quantitative) Aufgabe, bei der ich einfach nicht weiter komme:

Betrachtet wird ein 4-er Tupel

(, , , ) = (| − |, | − |, | − |, | − |). Die Buchstabel stehen dabei für beliebige natürliche Zahlen.

Der Operator erhält einen Tupel (, , , ) als Eingabe und erzeugt daraus ein Ausgabetupel
(, , , ). Ziel ist es, das Wirken des Operator zu analysieren, Auffälligkeiten
bzw. Muster zu erkennen.

Ich komme hier einfach nicht weiter. Ziel ist es quantivitiv darzulegen, wieso alles 0 wird und wie viele Durchgänge maximal möglich sind.

Problem/Ansatz:

Die wesentliche Beobachtung ist, dass nach dem mehrfachen Anwenden des Operators alles 0 wird.

Dies hängt (wahrscheinlich) damit zusammen, dass die Zahlen nach einer bestimmten Anzahl an Durchläufen gerade werden.

Von Bedeutung ist ebenfalls der GGT, der immer größer wird.

Ich würde mich riesig über Hinweise und /oder Ideen freuen! :)

Comments

Der Vierertupel lautet: D (a,b,c,d)= a-b,b-c,c-d,d-a

Answer 1

Hm, da passt was nicht zusammen:

D soll der Operator sein?

\(\small D \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}1&-1&0&0\\0&1&-1&0\\0&0&1&-1\\-1&0&0&1\\\end{array}\right)\)

D:={{1, -1, 0, 0}, {0, 1, -1, 0}, {0, 0, 1, -1}, {-1, 0, 0, 1}}

Versuche mal damit ein beliebiges Tupel z.B.

D^n {{1},{2},{3},{4}}

auf NUll zu bringen:

https://www.geogebra.org/classic#cas

Comments

Ich habe mich glaube ich etwas missverständlich ausgedrückt.

D (a,b,c,d) = (|a-b|, |b-c|, |c-d|,|d-a|)

Dies würde auf belieblige natürliche Zahlen dann bspw. wie folgt aussehen:

D = (2, 4, 3, 2)

D(D) = (2, 1, 1, 0)

D(D(D)) = (1, 0, 1, 2)

D(D(D(D))) = (1, 1, 1, 1, 1)

D(D(D(D(D)))= (0, 0 , 0, 0)

Dies erfolgt, egal was für (positive) Zahlen man einsetzt. Bei einem 3-er Tupel funktioniert sich bspw. nicht. Ich versuche herauszufinden, wie viele Durchgänge bei beliebigen Zahlen max. möglich sind bis die 0en entstehen und was maßgeblich Einfluss darauf hat (bspw. Gerade / ungerade).