Ist a eine Ebene?Für welche gamma ist b eine Gerade? Gamma so, dass Gerade parallel zur Ebene?

Question

Sei \( \gamma \in \mathbb{R} \) ein reeller Parameter und

\( a: x=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{c}8 \\ -4 \\ -2\end{array}\right) \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R} \)

\( b: x=\left(\begin{array}{c}3 \\ -1 \\ -2\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}9 \gamma \\ -9 \\ 2\end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ \gamma\end{array}\right) \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R} \)


(a) Ist \( a \) eine Ebene?
(b) Für welche \( \gamma \) ist \( b \) eine Gerade?
(c) Gibt es ein \( \gamma \), so dass \( a \) parallel zu \( b \) ist? Geben Sie \( \gamma \) ggf. explizit an.

Meine Ideen:

a) 

Ebene besteht aus zwei linear unabhängigen Spannvektoren.

--> Wenn det≠0 , dann linear unabhängig . Gilt aber nur für R^n und quadratische Matrizen

--> Wenn Kreuzprodukt≠0-Vektor, dann linear unabhängig. In diesem Fall = (8,14,4)^T, also linear unabhängig .⇒Somit ist a eine Ebene √

--> Alternativ der Standardweg?:

Schreiben in LGS-form:

1)-λ+µ8=0

2)   -µ4=0 ⇒µ=0 einsetzen in 1)

3) 2λ-2µ=0

1)-λ+0*8=0 ⇒ λ=0 einsetzen in 3) zur Probe

3)2*0-2*0=0 √

⇒µ=λ=0 (triviale Lösung), somit linear unabhängig √

b)

b ist eine Gerade, wenn es nur einen Richtungsvektor gibt und andere nur vielfache davon sind. Also die beiden "Richtungsvektoren"müssen linear abhängig sein.

--> Wieder; wennKreuzprodukt = 0-Vektor, dann linear abhängig

Kreuzprodukt liefert: (-9y-6,4-9y^2,27y+18)^T

-9y-6=0

4-9y^2=0

27y+18=0

Umformung liefert: - \( \frac{2}{3} \)

--> "Standardweg" über Gleichungssystem:

\( \lambda\left(\begin{array}{c}9 \gamma \\ -9 \\ 2\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ \gamma\end{array}\right) \)

1)9yλ=2µ

2)-9λ=3µ ⇒µ=\( \frac{-9}{3} \)= -3λ=µ (einsetzen in 3)

3)2λ=yµ

3)2λ= -3λ*y  /:(-3λ)

\( \frac{-2}{3} \) =y  einsetzen ein 1) für Probe

1)9*\( \frac{-2}{3} \)λ= -3λ*2

-6λ=-6λ

λ=λ √

c)

Idee: der Richtungsvektor der gerade muss ein vielfaches der Spannvektoren sein, damit der parallel mit Ihnen ist und somit mir der Ebene:

b₁=λa₁+µa₁

λ,µ€R

--> In Gleichungssystem:

1) 2=-λ+8µ

2)3=    -4µ ⇒µ=\( \frac{-3}{4} \) einsetzen in 1)

3) y=2λ-2µ

1) 2=-λ+\( \frac{-3*8}{4} \)  = -λ-6

-8=λ   einsetzen in 3)

y=2*-8-2*\( \frac{-3}{4} \)

 = -19 +\( \frac{6}{4} \) = -19 +\( \frac{3}{2} \)

 = \( \frac{-19*2+3}{2} \) = \( \frac{-38+3}{2} \) = \( \frac{-41}{2} \) = -20,5 =y

⇒Wenn y =-20,5, dann ist a||b, weil der Richtungsvektor aus den Spannvektoren gebildet werden kann.

........

Ich hatte noch andere Ansätze die haben nicht so hingehauen, aber ist der Gedanke richtig?

Ansatz 1-> Der Richtungsvektor muss  ein Vielfaches des Normalenvektors sein:

a1xa2= 2*(4,7,2)^T

Damit \( \begin{pmatrix} 9y\\-9\\2 \end{pmatrix} \)= x*\( \begin{pmatrix} 4\\7\\2 \end{pmatrix} \)

dann geschrieben in Gleichungssystem:

3.Zeile hat n=1 ergeben , eingesetzt in 2. Zeile, war -9=7   ⇒ falsch ?

Alternativ habe ich es mal mit allen Vektoren von b probiert:

n=x1*b1 +x2*b2  ⇒ kam auch etwas falsches raus, konnte ich nicht zu ende rechnen.

---?

Ansatz 2:

Schauen, ob a und b sich schneiden, bzw parallel sind.

Ich habe a von Parameterform in Koordinatenform umgewandelt

a: 4*x1+7*x2+2*x3=16

Dann die b Koordinaten eingesetzt:

b: 3+9yλ+2µ

 -1-9λ+3µ

 -2+2λ+µy

ergab folgendes; kann damit nichts anfangen:

µ(29+2y)+λ(-59+36y)= 15

......?

Answer 1

Hallo,

a) ist richtig.

Bei b) ist der Weg über das Kreuzprodukt ok, aber umständlich.

--> "Standardweg" über Gleichungssystem:

hier hast Du den ersten Richtungsvektor falsch abgeschrieben. Aus der \(x_2\)-Koordinate folgt$$ 0 = -4\mu \implies \mu = 0 \dots \text{usw.}$$Tipp: zwei Vektoren, von denen einer eine Koordinate mit dem Wert 0 hat und der andere hat in dieser Dimension einen Wert \(\ne 0\), sind immer linear unabhängig.

Der Ansatz bei c) ist falsch, da gar nicht nach der Parallelität einer Gerade sondern nach der Parallelität der beiden Ebenen gefagt ist. Die Ebenen liegen parallel, wenn ihre beiden Normalenvektoren linear abhängig sind. Den Normalenvektor für \(b\) hattest Du ja schon berechnet. Es muss eine Lösung geben für$$n_b=\begin{pmatrix} -9\gamma-6\\4-9\gamma^2\\ 27\gamma +18 \end{pmatrix} = k\cdot n_a= k \begin{pmatrix}4\\ 7\\ 2\end{pmatrix}\quad k \in \mathbb{R}, \,k \ne 0$$aus der ersten und letzten Zeile folgt hier \(\gamma = -2/3\). Dann ist \(k\) aber \(=0\) und \(b\) entartet zur Geraden. Du kannst jetzt noch prüfen, ob diese Gerade parallel zu \(a\) verläuft (tut sie nicht)

Gruß Werner