Mit welchem Wert von a ist die Gerade parallel zur Ebene?

Question

Hey zusammen,

beim Lernen für meine Matheklausur bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen:

Für welchen Wert von a ist die Gerade g mit

→      1               3
x   =   2   +   t  •   2   
          3               a

parallel zur Ebene E mit

→      3               2                 1
x   =   1   +   r  •  -1   +   s  •   3      ?
         0                5               -2

in der Schule haben wir die Aufgabe schon berechnet, und zwarmit diesem Ansatz:

          2                1             3
  r  •  -1   +   s  •   3     =      2
          5               -2             a

Wieso macht man das so? Kann mir das jemand erklären?

LG Jilea

Answer 1

·https://www.mathelounge.de/498973/wie-erkennt-man-dass-gerade-und-ebene-parallel-sind?show=498978#a498978

Hier sagst Du doch, dass man bei parallen Geraden auf kollineare Richtungsvektoren besteht. Und hier bastelt man aus den Richtungsvektoren (r1, r2) der Ebene E einen kollinearen Richtungsvektor zu r_a der Geraden g_a zusammen.

WEnn man jetzt genau hinschaut, dann trifft man für s=1, r=1 die x,y Koordinaten von r_a, was die Berechnung von a=3 aus der z-Koordinate ermöglicht

Alternativ könnte man aus den Richtungsvektoren der Ebene den Normalenvektor n (n=r1 ⊗ r2, n ⊥ r1,r2) bestimmen, der im Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor r_a • n = 0 ergeben muss.

Answer 2

Hallo Jilea,

eine Gerade verläuft dann parallel zu einer Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden als Linearkombinaton der Richtungsvektoren der Ebene dargestellt werden kann. Daraus resultiert euer Ansatz.

Gruß

Silvia