Zeigen Sie, dass (g1 ◦ g2)−1 = g−1 2 ◦ g−1

Question

Aufgabe:

Seien \( (G, \circ),(H, \cdot) \) Gruppen.

Zeigen Sie, dass \( \left(g_{1} \circ g_{2}\right)^{-1}=g_{2}^{-1} \circ g_{1}^{-1} \) für alle \( g_{1}, g_{2} \in G \) gilt.

Über jede Hilfe würde ich mich freuen. Danke

Answer 1

Man zeigt, dass \( \left(g_{1} \circ g_{2}\right)^{-1}=g_{2}^{-1} \circ g_{1}^{-1} \)das inverse Element zu \(g_1\circ g_2\) ist.

Es gilt \((g_1\circ g_2)\circ (g_2^{-1}\circ g_1^{-1}) \stackrel{Ass.}{=}g_1\circ (g_2\circ g_2^{-1})\circ g_1^{-1}=g_1\circ e \circ g_1^{-1}=g_1\circ g_1^{-1}=e\).