Unter der Annahme x^−1 ◦ y ∈ H ∀x, y ∈ H ist (H, ◦) eine Gruppe. Beweis.

Question

Aufgabe:

Sei (G, ◦) eine Gruppe und es sei H eine nicht leere Teilmenge von G.

Behauptung: Unter der Annahme x^−1 ◦ y ∈ H ∀x, y ∈ H ist (H, ◦) eine Gruppe.

Beweisen Sie die Behauptung.

Comments

Das hast du doch vor 3 Tagen schon gefragt?

https://www.mathelounge.de/829331/man-zeige-das-untergruppenkriterium-eine-untergruppe-ist

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Das hier ist ja der beweis einer Gruppe, nicht eienr Untergruppe

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Untergruppen sind immer Gruppen. In beiden Antworten wird exakt dasselbe nachgerechnet. Schau dir das nochmal genau an.

Answer 1

Es gelte x^-1 ◦ y ∈ H für alle x,y ∈ H. Bezeichne das neutrale Element in G mit e.

(1)  Existenz des neutralen Elements

Wähle x = y. Dann ist x^-1 ◦ x ∈ H, also e ∈ H.

(2)  Existenz des inversen Elements von x

Gemäß (1) wähle y = e. Dann ist x^-1 ◦ e ∈ H, also x^-1 ∈ H.

(3)  Abgeschlossenheit

Nach (2) ist x^-1 ∈ H, und damit auch (x^-1)^-1 ◦ y ∈ H, also x ◦ y ∈ H.

(4)  Assoziativgesetz

Da G eine Gruppe ist, gilt das AG in G und damit auch in H als Teilmenge von G.