Monotonieverhalten einer Funktion mit ungewöhnlichem Verlauf

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die gegebenen Funktionen auf Monotonie im entsprechenden Intervall.

(x^2-7*x+12)^(-1)

Intervall: (3, 5];

Problem/Ansatz:

Bei den anderen Funktionen konnte ich unterschiedliche x-Werte des Intervalls einsetzen und demnach ein Monotonieverhalten abschätzen konnte. Hier geht der Ansatz jetzt nicht mehr so auf.

Wie der Grafik schon zu entnehmen ist ist genau zwischen 3 und 4 dieser Ausriss und ab 4 bis 5 quasi wieder Monoton fallend. Muss definitiv einen besseren Weg geben als da jetzt krumme Werte zwischen 3 und 4 einzusetzen, da die Monotonie 3 mal für den Hochpunkt sowie Steigung/Senkung nachzuweisen und danach monoton fallend bis zur 5. Zumal wenn ich in der Klausur sitzen würde hätte ich die grafische Darstellung gar nicht. Erst nachdem ich wie oben beschrieben durchgearbeitet hätte wäre ich ggf. auf einen Ansatz des Funktionsverlaufes gehabt.

Hoffe mir kann jemand helfen.

Beste Grüße,

Fvaltrock

Answer 1

Monotoniesatz. Eine Funktion ist in einem Intervall streng monoton steigend, wenn ihre Ableitung in diesem Intervall positiv ist,

Eine Funktion ist in einem Intervall streng monoton fallend, wenn ihre Ableitung in diesem Intervall negativ ist,

Comments

Ja aber gehen wir mal davon aus ich wüsste den Grafischen Verlauf der Funktion nicht.

Wenn ich nun das Intervall (3,5] habe zählt die 3 ja nicht mehr dazu, die 5 schon.

Wenn ich nun die erste Ableitung von f(x) bilde und diesen für Werte ausrechne die zwischen 3 und 4 sind müsste ich alleine mit 3 Krummen-Werten Rechnen. Bei x= 3,5 ist m=0, also würd ich noch für beispielsweise 3,25 und 3,75 Auswerten.

Zudem kenne ich ja jetzt hier den Funktionsverlauf bereits durchs plotten. Ich dachte, dass es definitiv eine bessere Methode geben muss als meine Funktion mit den Krummen Werten auszurechnen.

Ich mein man muss ja die Funktion meist nicht komplett ausrechnen um erahnen zu können ob das Ergebnis Negativ oder Positiv wird. Dennoch hab ich das Gefühl, dass meine Methode mit einfach mal Punkte im Intervall 3-5 einzusetzen nicht der beste Lösungsansatz einer solchen Aufgabe ist.

LG, fvaltrock

---

Es ist

        \(f'(x) = \frac{7-2x}{(x^2-7x+12)^2}\).

Im Definitionsbereich von \(f\) gilt \(f'(x)>0\) genau dann wenn

        \(7-2x > 0\)

ist, weil der Nenner wegen des Quadrats nie negativ sein kann.

Löse also diese Ungleichung und bestimme den Defiitionsbereich von \(f\).

---

Wird lediglich 7-2x > 0 betrachtet da der Zähler ja so oder so für alle Werte Positiv wird?

Beim Lösen der Ungleichung kommen wir ja auf:

7 > 2x | :2

7/2 > x

und 7/2 = 3,5 also der Punkt an dem die Steigung der Funktion = 0 ist. Demnach müsste der Definitionsbereich für x < 7/2 positiv und demnach streng Monoton steigend sein falls ich damit richtig liege. Demnach können für Werte welche x > 7/2 sind davon ausgegangen werden, dass hier die Werte Negativ sind und demnach die Funktion ab da auch Monoton fallend ist.

Falls ich damit richtig liege hab ich es verstanden. Danke vielmals schonmal für deine Hilfe übrigens.

LG,

fvaltrock

---

7/2 > x

Das ist die korrekte Lösung der Ungleichung.

Demnach müsste der Definitionsbereich für x < 7/2 positiv und demnach streng Monoton steigend sein

Definitionsbereiche sind Mengen.

Mengen sind werder positiv, noch monoton steigend.

und demnach die Funktion ab da auch Monoton fallend ist.

Nein. Die Funktion \(f\) ist im Intervall \(\left(\frac{7}{2},\infty\right)\) offensichtlich nicht monoton fallend, weil \(f\left(\frac{7}{2}\right) < f(5)\) ist.

Für monoton fallend in einem Intervall verlangt der Monotoniesatz, dass "ihre Ableitung in diesem Intervall negativ ist". Die Ableitung ist aber im Intervall \(\left(\frac{7}{2},\infty\right)\) nicht negativ. Sie ist lediglich in den Intervallen \(\left(\frac{7}{2},4\right)\) und \(\left(4,\infty\right)\) negativ.