Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers mit Hilfe eines geeigneten Integrals.

Question

Aufgabe:

Die Funktion \( f_{m}(x)=m x \) wird im Bereich \( 0<x<2 \) um die \( x \)-Achse rotiert.

a. Benennen Sie den Körper, der durch die Rotation entsteht.

b. Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers mithilfe eines geeigneten Integrals.

c. Es sei nun \( m=1,5 \) gegeben. Ermitteln Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation um die y-Achse im Bereich \( 0<y<f(2) \) entsteht.

Problem/Ansatz:

Wie kann man die zweite(b) und dritte(c )Aufgabe?

Comments

Kannst Du Dir räumlich vorstellen, dass es Kegel sind?

Answer 1

Wie kann man...

Die Formeln stehen hier.

Comments

Kann man einfach das integral pi*integral von 0-2 nehmen? Wie sieht es bei c aus, wenn man den Kegel auf die x Achse überträgt?

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a)

\(\displaystyle V= \pi \int\limits_{0}^{2} (mx)^{2} \,dx =\frac{8}{3}\pi m^{2}\)

b)

\(\displaystyle V= 2\pi \int\limits_{0}^{2} x \cdot (3-\frac{3}{2}x) \,dx = 4\pi \)

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Muss man doch nicht erst die umkehrfunktion bilden, um es von der x Achse auf die y Achse zu übertragen?  Wie sieht dann das integral aus?

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Ich habe bei b) den Kegel umgedreht. Anstatt mit der Spitze auf dem Ursprung steht er jetzt mit der Spitze nach oben, bei (0 ; 3).

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Es tut mir leid, aber leider verstehe ich es nicht ganz. Wie wurde das umgedreht und warum und wie sieht das integral aus?

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Darum habe ich unterhalb der Frage die Frage getellt, die dort steht. Damit ich merke, ob ich Bildchen zeichnen soll.

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Das wäre super, weil ich kann nicht verstehen, warum man bei c auf das integral 2pi von 0 zu 2 mit x(3-3/2)?

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Beantworte doch bitte ganz oben die Frage.

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Ich kann es mir räumlich vorstellen.

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Das Blaue ist gesucht:

Wenn man diesen Kegel so dreht, dass die Spitze nach oben zeigt, was sein Volumen ja nicht verändert, dann gilt meine Formel. Man muss ihn drehen, denn sonst würde die rosa Fläche rotiert, und das gäbe keinen Kegel, sondern einen Zylinder mit Höhe 3, enthaltend einen Kegel aus Luft.

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Man kann es selbstverständlich auch mit Umkehrfunktion machen. Die Formel steht im bei meiner Antwort mit "hier" verlinkten Text unter "disc integration":

\(\displaystyle V= \pi \int \limits_{0}^{3} \left(\frac{2}{3} y\right)^{2} d y=4 \pi \)

Okay?

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Perfekt, Dankeschön.

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Du solltest versuchen, die Formeln selber anzuwenden (Stammfunktion finden usw., ohne elektronische Hilfsmittel), solange, bis Du selber auf 4 π kommst. Damit lernt man es am besten.